A urna
contém
bolas vermelhas e
bolas brancas, e a urna
contém
bolas vermelhas e
bolas brancas.
a) Se uma urna é selecionada ao acaso e uma bola retirada, qual é a probabilidade de que a bola seja vermelha?
b) Se uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B, e uma bola é retirada da urna B, qual é a probabilidade de que a segunda bola seja vermelha?
a) Se uma urna é selecionada ao acaso e uma bola retirada, qual é a probabilidade de que a bola seja vermelha?
b) Se uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B, e uma bola é retirada da urna B, qual é a probabilidade de que a segunda bola seja vermelha?
Passo 1
O enunciado fornece duas urnas com as seguintes quantidades de bolas:
- Urna A:
bolas vermelhas e bolas brancas. - Urna B:
bolas vermelhas e bolas brancas.
O que o enunciado pede:
- (a) Se uma urna é escolhida ao acaso (com probabilidade igual para cada urna) e em seguida se retira uma bola dessa urna, qual é a probabilidade de a bola retirada ser vermelha?
- (b) Se primeiro se retira uma bola da urna A e essa bola é colocada na urna B, e em seguida se retira uma bola da urna B, qual é a probabilidade de que essa segunda bola seja vermelha?
Todas as quantidades
representam números não negativos de bolas (assume‑se que denominadores como
e
são positivos quando usados).
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo do raciocínio): probabilidade condicional e regra da probabilidade total.
- Se um evento
ocorre condicionado a outro evento , a probabilidade condicional é escrita e expressa “a probabilidade de sabendo que ocorreu”. - A regra da probabilidade total diz que, se podemos particionar o espaço por eventos mutuamente exclusivos
com conhecidos, então
Isto é útil quando a ocorrência de
depende de qual ramo do experimento aconteceu (por exemplo, qual urna foi escolhida).
Passo 3
Resolver a parte (a) aplicando a regra da probabilidade total.
- A escolha da urna é ao acaso com probabilidade
para A e para B. - A probabilidade de retirar uma bola vermelha da urna A, dado que a urna A foi escolhida, é a razão entre o número de bolas vermelhas e o total na urna A:
- Analogamente, para a urna B:
- Aplicando a regra da probabilidade total:
Passo 4
Interpretação didática da resposta (a): cada fração
e
é o “número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis” quando uma urna fixa é escolhida. Como as urnas são escolhidas com igual chance, faz-se a média ponderada simples com pesos
e
.
Passo 5
Preparação para a parte (b): descrever o experimento em etapas e escolher método.
- Etapas do experimento: (1) retirar uma bola da urna A; (2) colocar essa bola em B; (3) retirar uma bola da urna B.
- A cor da bola retirada de A (vermelha ou branca) altera a composição da urna B antes do segundo sorteio. Portanto, devemos condicionar o cálculo no resultado da primeira retirada e somar os casos pela regra da probabilidade total (mesma ideia do Passo 2, aplicada a um experimento em duas etapas).
Passo 6
Calcular probabilidades condicionais relevantes para (b).
- Probabilidade de transferir uma bola vermelha de A para B:
- Probabilidade de transferir uma bola branca de A para B:
- Se foi transferida uma bola vermelha, a urna B passa a ter
bolas vermelhas e brancas, total . Assim a probabilidade de a segunda bola (retirada de B) ser vermelha, condicionada a ter transferido vermelha, é
- Se foi transferida uma bola branca, a urna B passa a ter
vermelhas e brancas, total . Assim
Passo 7
Aplicar a regra da probabilidade total para obter a probabilidade final da segunda bola ser vermelha:
Passo 8
Simplificar a expressão se quiser uma forma única (útil para comparar ou calcular à mão):
- Colocando o mesmo denominador
:
- Podemos reorganizar o numerador:
portanto também pode ser escrita como
Ambas as formas são equivalentes; a primeira mostra claramente a combinação dos dois casos condicionais.
Passo 9
Pequeno exemplo numérico para ganhar intuição (opcional, mas didático): suponha
.
- Parte (a):
. - Parte (b):
(apenas mostra como substituir os valores — calcular exatamente aqui não é obrigatório, o importante é ver que o procedimento funciona). (Se desejar, posso calcular esse número exato.)