4.15 Fazer A e B serem eventos \operatorname{com} P(A)=\frac{1}{2} ; P(B)= \frac{1}{3} e P(A \cap B)=\frac{1}{4}.
Encontrar P(\bar{A} / \bar{B}) e P(\bar{B} / \bar{A})

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • P(A)=\dfrac{1}{2}.
  • P(B)=\dfrac{1}{3}.
  • P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}.
O que o problema pede:
  • Calcular P(\overline{A}\mid\overline{B}).
  • Calcular P(\overline{B}\mid\overline{A}).

Passo 2

Lembretes e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A probabilidade condicional de um evento X dado Y é
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)},
onde P(X\cap Y) é a probabilidade de ambos ocorrerem e P(Y) é a probabilidade do evento condicionante. Essa fórmula só faz sentido se P(Y)>0.
  • O complemento de um evento A é \overline{A} e tem probabilidade
P(\overline{A})=1-P(A).
  • A união de dois eventos satisfaz a fórmula de inclusão-exclusão
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Passo 3

Calcular as probabilidades dos complementos (passo simples, mas importante):
P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
P(\overline{B})=1-P(B)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.

Passo 4

Calcular P(A\cup B) usando inclusão-exclusão (vou mostrar cada termo):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}.
Para somar as frações, colocamos denominador comum 12:
\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12},\qquad \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12},\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}.
Logo
P(A\cup B)=\dfrac{6}{12}+\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}.

Passo 5

Calcular P(\overline{A}\cap\overline{B}). Note que \overline{A}\cap\overline{B} é o complemento de A\cup B, então
P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B)=1-\dfrac{7}{12}=\dfrac{5}{12}.

Passo 6

Calcular P(\overline{A}\mid\overline{B}) usando a fórmula da probabilidade condicional:
P(\overline{A}\mid\overline{B})=\frac{P(\overline{A}\cap\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{\dfrac{5}{12}}{\dfrac{2}{3}}.
Colocando o denominador em 12 também: \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}. Então
P(\overline{A}\mid\overline{B})=\frac{5/12}{8/12}=\frac{5}{8}.
Aqui a simplificação ocorre porque as frações dividem-se cancelando o mesmo denominador.

Passo 7

Calcular P(\overline{B}\mid\overline{A}):
P(\overline{B}\mid\overline{A})=\frac{P(\overline{A}\cap\overline{B})}{P(\overline{A})}=\frac{\dfrac{5}{12}}{\dfrac{1}{2}}.
Escrevendo \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}, obtemos
P(\overline{B}\mid\overline{A})=\frac{5/12}{6/12}=\frac{5}{6}.

Resposta

P(\overline{A}\mid\overline{B})=\dfrac{5}{8}\n
P(\overline{B}\mid\overline{A})=\dfrac{5}{6}

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