4.15 Fazer A e B serem eventos \operatorname{com} P(A)=\frac{1}{2} ; P(B)= \frac{1}{3} e P(A \cap B)=\frac{1}{4}.
Encontrar P(\bar{A} / \bar{B}) e P(\bar{B} / \bar{A})
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
P(A)=\dfrac{1}{2}.
P(B)=\dfrac{1}{3}.
P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}.
O que o problema pede:
Calcular P(\overline{A}\mid\overline{B}).
Calcular P(\overline{B}\mid\overline{A}).
Passo 2
Lembretes e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
A probabilidade condicional de um evento X dado Y é
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)},
onde P(X\cap Y) é a probabilidade de ambos ocorrerem e P(Y) é a probabilidade do evento condicionante. Essa fórmula só faz sentido se P(Y)>0.
O complemento de um evento A é \overline{A} e tem probabilidade
P(\overline{A})=1-P(A).
A união de dois eventos satisfaz a fórmula de inclusão-exclusão
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Passo 3
Calcular as probabilidades dos complementos (passo simples, mas importante):