6- Verifique se a função f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2} \text { se } 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 \text { se } x<0 \text { ou } x>2\end{array}\right. é uma função de densidade de probabilidade.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2},&0\le x\le2,\\\\ 0,&x<0\text{ ou }x>2, \end{cases}
e pede para verificar se f é uma função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos checar duas propriedades:
  1. f(x)\ge0 para todo x\in\mathbb{R}.
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.

Passo 2

Verificamos a não-negatividade: dentro de [0,2] temos x^{2}\ge0 e fora desse intervalo f(x)=0. Logo,
f(x)\ge0\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calculamos a integral total de f. Como f(x)=0 fora de [0,2], basta integrar em [0,2]:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =\frac{2^{3}}{3}-0 =\frac{8}{3}.

Passo 4

O valor da integral é \tfrac{8}{3}, que não é igual a 1. Portanto, f não satisfaz a segunda condição de densidade de probabilidade.

Resposta

A função f não é densidade de probabilidade, pois
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\frac{8}{3}\neq1.

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