6- Verifique se a função f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2} \text { se } 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 \text { se } x<0 \text { ou } x>2\end{array}\right. é uma função de densidade de probabilidade.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2},&0\le x\le2,\\\\ 0,&x<0\text{ ou }x>2, \end{cases}
e pede para verificar se f é uma função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos checar duas propriedades:
f(x)\ge0 para todo x\in\mathbb{R}.
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.
Passo 2
Verificamos a não-negatividade: dentro de [0,2] temos x^{2}\ge0 e fora desse intervalo f(x)=0. Logo,
f(x)\ge0\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.
Passo 3
Calculamos a integral total de f. Como f(x)=0 fora de [0,2], basta integrar em [0,2]: