Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Extraem-se, ao acaso e com reposição, 3 bolas da urna. Qual é a probabilidade de se obter 2 bolas brancas e 1 bola preta?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma urna com 5 bolas brancas e 3 pretas. Vamos tirar 3 bolas com reposição e queremos a probabilidade de sair exatamente 2 brancas e 1 preta.
Conteúdo: probabilidade de eventos independentes e distribuição binomial (pois cada sorteio “volta” pra urna e mantém as mesmas chances).
O que vamos precisar:
Conteúdo: probabilidade de eventos independentes e distribuição binomial (pois cada sorteio “volta” pra urna e mantém as mesmas chances).
O que vamos precisar:
- Entender que “com reposição” torna cada extração independente.
- Calcular a probabilidade de brancas e pretas em cada extração.
- Usar a fórmula da distribuição binomial:
Passo 2
Primeiro vamos achar as probabilidades de cada cor em um sorteio só:
- Probabilidade de branca:
. - Probabilidade de preta:
.
Como é com reposição, essas chances não mudam de um sorteio pro outro.
Passo 3
Como queremos exatamente 2 brancas em 3 tentativas, usamos o modelo binomial:
-
(número de extrações), -
(número de “sucessos”, que aqui são brancas), -
.
A fórmula é:
Passo 4
Calcular cada parte:
- Coeficiente binomial:
. - Potências:
e .
Juntando:
Passo 5
Multiplicando:
Resposta
A probabilidade de obter 2 bolas brancas e 1 preta é