Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Extraem-se, ao acaso e com reposição, 3 bolas da urna. Qual é a probabilidade de se obter 2 bolas brancas e 1 bola preta?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma urna com 5 bolas brancas e 3 pretas. Vamos tirar 3 bolas com reposição e queremos a probabilidade de sair exatamente 2 brancas e 1 preta.
Conteúdo: probabilidade de eventos independentes e distribuição binomial (pois cada sorteio “volta” pra urna e mantém as mesmas chances).
O que vamos precisar:
  • Entender que “com reposição” torna cada extração independente.
  • Calcular a probabilidade de brancas e pretas em cada extração.
  • Usar a fórmula da distribuição binomial: P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k

Passo 2

Primeiro vamos achar as probabilidades de cada cor em um sorteio só:
  • Probabilidade de branca: .
  • Probabilidade de preta: .
    Como é com reposição, essas chances não mudam de um sorteio pro outro.

Passo 3

Como queremos exatamente 2 brancas em 3 tentativas, usamos o modelo binomial:
  • P(X=2)=binom32l(tfrac58r)^2l(tfrac38r)^3-2 (número de extrações),
  • (número de “sucessos”, que aqui são brancas),
  • .
    A fórmula é:

Passo 4

Calcular cada parte:
  1. Coeficiente binomial: P = 3 times tfrac2564 times tfrac38.
  2. Potências: e .
    Juntando:

Passo 5

Multiplicando:
P = 3 times 2564 times 38 = 3 times 25 times 364 times 8 = 225512 approx 0,439

Resposta

A probabilidade de obter 2 bolas brancas e 1 preta é
boxed225512approx0,439

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