De quantos modos podemos distribuir 10 bolas iguais em 3 urnas distintas?
Passo 1
Beleza, o problema é: “De quantos modos podemos distribuir 10 bolas iguais em 3 urnas distintas?” Isso faz parte de combinatória, mais especificamente do método “bolas e urnas” (ou “stars and bars”). Pra resolver, a gente vai modelar isso como uma equação de soma de inteiros não negativos e usar a fórmula de combinação que conta soluções desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir: se chamarmos de
o número de bolas na urna 1,
na urna 2 e
na urna 3, nosso problema vira achar todas as soluções não negativas da equação
onde
e inteiros.
Passo 3
Agora entra a teoria de “stars and bars”: o número de soluções em inteiros não negativos de
é dado por
Aqui temos
bolas e
urnas. Logo, o total de distribuições é
Passo 4
Basta calcular
. Por definição de combinação:
Resposta
66 modos distintos.