De quantos modos podemos distribuir 10 bolas iguais em 3 urnas distintas?

Passo 1

Beleza, o problema é: “De quantos modos podemos distribuir 10 bolas iguais em 3 urnas distintas?” Isso faz parte de combinatória, mais especificamente do método “bolas e urnas” (ou “stars and bars”). Pra resolver, a gente vai modelar isso como uma equação de soma de inteiros não negativos e usar a fórmula de combinação que conta soluções desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir: se chamarmos de x1 + x2 + x3 = 10, o número de bolas na urna 1, na urna 2 e na urna 3, nosso problema vira achar todas as soluções não negativas da equação
onde e inteiros.

Passo 3

Agora entra a teoria de “stars and bars”: o número de soluções em inteiros não negativos de
x1 + x2 + cdots + xk = n
é dado por
binomn + k - 1k - 1
Aqui temos binom10 + 3 - 13 - 1 ;=; binom122 bolas e urnas. Logo, o total de distribuições é

Passo 4

Basta calcular binom122 = 12!2!(12-2)! = 12 times 112 times 1 = 66 . Por definição de combinação:

Resposta

66 modos distintos.

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