Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Qual a distribuição de probabilidade do número de bolas brancas retiradas? Se ganharmos R por bola branca retirada e perdermos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada, até quanto vale a pena pagar para entrar nesse jogo?

Passo 1

Beleza, mergulhando no enunciado: temos uma urna com 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. A gente tira 3 bolas de uma vez (sem devolver). Precisamos achar a distribuição de probabilidade do número de bolas brancas retiradas (ou seja, para 0, 1, 2 e 3 brancas). Depois, cada bola branca vale R$ 2,00 de ganho, cada preta dá R$ –1,00 de perda, e queremos saber qual é o valor esperado desse jogo (pra saber até quanto vale pagar pra entrar).
Conteúdo: combinatória (binômio), distribuição hipergeométrica e cálculo de valor esperado de variável aleatória.

Passo 2

Vamos achar primeiro a distribuição de probabilidade.
Seja P(X = k) ;=; binom5k,binom33-kbinom83 = número de bolas brancas em 3 retiradas. Como é sem reposição, usam-se combinações e a fórmula da distribuição hipergeométrica:
escolhe brancas entre as 5,
escolhe as pretas entre as 3,
é o total de jeitos de tirar 3 bolas de 8.

Passo 3

Agora calculamos numericamente para cada P(X=0) = binom50,binom3356 = 1cdot156 = 156approx0,0179 . Primeiro o total:
P(X=1) = binom51,binom3256 = 5cdot356 = 1556approx0,2679 .
  1. P(X=2) = binom52,binom3156 = 10cdot356 = 3056approx0,5357 :
P(X=3) = binom53,binom3056 = 10cdot156 = 1056approx0,1786
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora a parte do ganho. Seja 2,00 - Cada preta = R o ganho em reais:
  • Cada branca = +R$ 2,00
  • Cada preta = –R$ 1,00
    Se você tira Y(k) ;=; 2cdot k ;-;1cdot(3-k) = 2k - 3 + k = 3k - 3 brancas, tira E[Y] ;=; sumk=0^3 Y(k),P(X=k) pretas, logo
E[Y] &= (-3),156 + (0),1556 + (3),3056 + (6),1056 [6pt] &= -3 + 0 + 90 + 6056 = 14756 approx 2,625;reais
Para achar até quanto vale pagar, calculamos o valor esperado :
Substituindo:

Resposta

Distribuição de P(X=0)=tfrac156,; P(X=1)=tfrac1556,; P(X=2)=tfrac3056,; P(X=3)=tfrac1056 :
,2,625) Logo, va<= a pena pagar até cerca de R
Valor esperado do jogo:

Logo, vale a pena pagar até cerca de R$ 2,63 para entrar.

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