Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Qual a distribuição de probabilidade do número de bolas brancas retiradas? Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada, até quanto vale a pena pagar para entrar nesse jogo?
Passo 1
Beleza, mergulhando no enunciado: temos uma urna com 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. A gente tira 3 bolas de uma vez (sem devolver). Precisamos achar a distribuição de probabilidade do número de bolas brancas retiradas (ou seja, para 0, 1, 2 e 3 brancas). Depois, cada bola branca vale R$ 2,00 de ganho, cada preta dá R$ –1,00 de perda, e queremos saber qual é o valor esperado desse jogo (pra saber até quanto vale pagar pra entrar).
Conteúdo: combinatória (binômio), distribuição hipergeométrica e cálculo de valor esperado de variável aleatória.
Conteúdo: combinatória (binômio), distribuição hipergeométrica e cálculo de valor esperado de variável aleatória.
Passo 2
Vamos achar primeiro a distribuição de probabilidade.
Seja = número de bolas brancas em 3 retiradas. Como é sem reposição, usam-se combinações e a fórmula da distribuição hipergeométrica:
Seja
–
escolhe
brancas entre as 5,
– escolhe as
pretas entre as 3,
– é o total de jeitos de tirar 3 bolas de 8.
–
–
Passo 3
Agora calculamos numericamente para cada
. Primeiro o total:
.
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 4
Agora a parte do ganho. Seja
o ganho em reais:
- Cada branca = +R$ 2,00
- Cada preta = –R$ 1,00
Se você tirabrancas, tira pretas, logo
Para achar até quanto vale pagar, calculamos o valor esperado
:
Substituindo:
Resposta
Distribuição de
:
Valor esperado do jogo:
Logo, vale a pena pagar até cerca de R$ 2,63 para entrar.
Logo, vale a pena pagar até cerca de R$ 2,63 para entrar.