Dois dados são lançados. Determinar a distribuição de probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória Z, a soma dos pontos obtidos. Determinar a esperança, a variância e o desvio padrão dessa distribuição.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente olhar a variável aleatória Z que é a soma de dois dados justos (cada dado tem 6 faces, de 1 a 6). A gente precisa:
  1. montar a distribuição de probabilidade (pmf) de Z;
  2. montar a função de distribuição acumulada (cdf) de Z;
  3. calcular a esperança ;
  4. calcular a variância ;
  5. calcular o desvio padrão .
Para isso, vamos usar:
  • conceito de variável discreta e pmf;
  • definição de cdf para variável discreta;
  • independência dos dados (probabilidade conjunta é produto);
  • definição de esperança e variância (e a propriedade de soma de variáveis independentes).

Passo 2

Distribuição de probabilidade (pmf) de pZ(z)=P(Z=z)= dfracz-136,& z=2,3,dots,7,[6pt] dfrac13-z36,& z=8,9,dots,12,[3pt] 0,&caso contrário .
Cada par de resultados dos dois dados tem probabilidade . A soma varia de 2 a 12. Contamos quantas formas dão cada soma:
Para o número de maneiras é ;
para é .
Logo,
á
Exemplo: , porque as combinações dão 5.

Passo 3

Função de distribuição acumulada (cdf) FZ(z)=sumk=2^lfloor zrfloorpZ(k) . Para variável discreta,
FZ(m)=sumk=2^mpZ(k)
Especificando:
  • Se , .
  • Se , .
  • Se , .
  • … e assim por diante, até
  • .
Se quiser em forma compacta, para inteiro :

Passo 4

Esperança E[Z]=sumz=2^12z,pZ(z) .
Definição:
E[Z]=E[X1]+E[X2]=3.5+3.5=7
Mas é mais rápido usar que , onde cada (um dado) tem .
Como os dados são independentes,

Passo 5

Variância E[X^2]=1^2+2^2+cdots+6^26=916, Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=916-l(3.5r)^2=3512 e desvio padrão.
Para um dado Var(Z)=Var(X1)+Var(X2)=3512+3512=356 :
sigmaZ=raizVar(Z)=raiz356approx2.415
Como com independência,
O desvio padrão é

Resposta

Distribuição de probabilidade:
pZ(z)= dfracz-136,& z=2,dots,7, dfrac13-z36,& z=8,dots,12, 0,&caso contrário á
Função distribuição acumulada:
FZ(z)=sumk=2^lfloor zrfloorpZ(k), FZ(z)=0,(z<2),;FZ(12)=1
Esperança: .
Variância: .
Desvio padrão: .

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