Dois dados são lançados. Determinar a distribuição de probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória Z, a soma dos pontos obtidos. Determinar a esperança, a variância e o desvio padrão dessa distribuição.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente olhar a variável aleatória Z que é a soma de dois dados justos (cada dado tem 6 faces, de 1 a 6). A gente precisa:
montar a distribuição de probabilidade (pmf) de Z;
montar a função de distribuição acumulada (cdf) de Z;
calcular a esperança ;
calcular a variância ;
calcular o desvio padrão .
Para isso, vamos usar:
conceito de variável discreta e pmf;
definição de cdf para variável discreta;
independência dos dados (probabilidade conjunta é produto);
definição de esperança e variância (e a propriedade de soma de variáveis independentes).
Passo 2
Distribuição de probabilidade (pmf) de .
Cada par de resultados dos dois dados tem probabilidade . A soma varia de 2 a 12. Contamos quantas formas dão cada soma:
Para o número de maneiras é ;
para é .
Logo,
Exemplo: , porque as combinações dão 5.
Passo 3
Função de distribuição acumulada (cdf) FZ(z)=sumk=2^lfloor zrfloorpZ(k) . Para variável discreta,
FZ(m)=sumk=2^mpZ(k)
Especificando:
Se , .
Se , .
Se , .
… e assim por diante, até
.
Se quiser em forma compacta, para inteiro :
Passo 4
Esperança E[Z]=sumz=2^12z,pZ(z) .
Definição:
E[Z]=E[X1]+E[X2]=3.5+3.5=7
Mas é mais rápido usar que , onde cada (um dado) tem .
Como os dados são independentes,
Passo 5
Variância E[X^2]=1^2+2^2+cdots+6^26=916, Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=916-l(3.5r)^2=3512 e desvio padrão.
Para um dado Var(Z)=Var(X1)+Var(X2)=3512+3512=356 :
sigmaZ=raizVar(Z)=raiz356approx2.415
Como com independência,
O desvio padrão é
Resposta
Distribuição de probabilidade:
pZ(z)= dfracz-136,& z=2,dots,7, dfrac13-z36,& z=8,dots,12, 0,&caso contrário á