Uma urna contém 3 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 pretas. Extraindo-se, sem reposição 3 bolas, calcule a probabilidade: todas da mesma cor

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo! Temos uma urna com 3 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 pretas, totalizando 14 bolas. A gente vai tirar 3 bolas dessa urna, uma de cada vez, sem colocar de volta (isso se chama sem reposição). A pergunta é: qual é a probabilidade de todas as 3 bolas retiradas serem da mesma cor? Para resolver isso, vamos usar um pouco de probabilidade combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas maneiras diferentes podemos tirar 3 bolas da urna sem se importar com a cor delas. Isso é chamado de combinação e usamos a fórmula:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 14 $ (total de bolas) e $ k = 3 $ (bolas que vamos tirar). Então:
n = 14
Então, existem 364 maneiras diferentes de tirar 3 bolas da urna.

Passo 3

Agora, vamos ver de quantas dessas maneiras as 3 bolas são todas da mesma cor. Precisamos considerar cada cor separadamente:
  1. Todas brancas: Temos 3 bolas brancas e queremos tirar as 3. Então:
C(3, 3) = 3!3! times (3 - 3)! = 1
Tem 1 maneira de tirar todas brancas.
  1. Todas vermelhas: Temos 5 bolas vermelhas e queremos tirar 3 delas:
C(5, 3) = 5!3! times (5 - 3)! = 10
Tem 10 maneiras de tirar todas vermelhas.
  1. Todas pretas: Temos 6 bolas pretas e queremos tirar 3 delas:
C(6, 3) = 6!3! times (6 - 3)! = 20
Tem 20 maneiras de tirar todas pretas.

Passo 4

Agora, somamos todas as maneiras favoráveis:
1 , (brancas) + 10 , (vermelhas) + 20 , (pretas) = 31
Então, há 31 maneiras de tirar 3 bolas da mesma cor.

Passo 5

Finalmente, para achar a probabilidade, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis:
Probabilidade = Maneiras FavoráveisManeiras Totais = 31364 á
Podemos simplificar essa fração dividindo ambos os números por 31:
31364 = 111.8 approx 0,085 ou 8,5%

Resposta

A probabilidade de tirar 3 bolas todas da mesma cor é aproximadamente 8,5%.

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