Uma urna contém 4 bolas numeradas de 1 a 4. Duas bolas são retiradas sem reposição. Seja A o evento soma é 5 e seja Bi o evento primeira bola sorteada tem o número i , i=1,2,3,4. Calcule Pr(A mid Bi) e Pr(Bi mid A) para i=1,2,3,4.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui?
– Enunciado resumido: numa urna tem 4 bolas numeradas de 1 a 4. A gente tira duas sem repor.
– Evento A: a soma dos dois números é 5.
– Evento : a primeira bola tirada é a de número (para ).
Conteúdo da matéria: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
• Definição de probabilidade condicional
• Regra da probabilidade total
• Teorema de Bayes

Passo 2

Primeiro, vamos ver quão provável é cada P(Bi) ;=;14 isoladamente. Como as 4 bolas são iguais de chance na primeira retirada, para qualquer :

Passo 3

Agora, P(Amid Bi);=;P(Acap Bi)P(Bi) .
Definição:
P(Amid Bi);=;P(segunda bola=5-imid Bi);=;13
Mas, se a primeira bola já foi , para a soma dar 5 a segunda bola tem que ser . Sob , sobraram 3 bolas, só uma vale . Então
Isso vale para .

Passo 4

Precisamos de P(A);=;sumi=1^4P(Amid Bi),P(Bi) ;=;4;times;13;times;14 ;=;13 para usar Bayes depois. Usamos a regra da probabilidade total:

Passo 5

Por fim, P(Bimid A) ;=; P(Amid Bi),P(Bi)P(A) ;=; 13times1413 ;=;14 via Teorema de Bayes:

Resposta

Para cada P(Amid Bi)=13, P(Bimid A)=14 :

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