Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. Dois jogadores A e B sacam alternadamente, sem reposição, bolas dessas urna até que um dos competidores retire uma bola vermelha ganhando o jogo. Se A começa o jogo qual a probabilidade dele ganhar?

Passo 1

Beleza, vamos resumir: temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 7 brancas. Dois amigos, A e B, tiram bolas alternadamente (A começa), sem repor. Quem tirar a primeira bola vermelha ganha. O conteúdo aqui é probabilidade condicional sem reposição. Para resolver precisamos usar a regra do produto:
P(A e B) = P(A)·P(B|A),
e atualizar o número de bolas a cada extração.

Passo 2

Primeiro caso: A ganha logo no 1º sorteio (draw 1).
P₁ = probabilidade de A tirar vermelha de cara:
P1 = 310

Passo 3

Segundo caso: A não tira vermelha (tira branca), B também não (tira branca), e aí A tira vermelha no 3º sorteio.
  • Prob de A tirar branca no draw 1: P2 = 710cdot69cdot38 .
  • Dado isso, restam 6 brancas e 3 vermelhas em 9 bolas, B tira branca: .
  • Agora sobram 8 bolas (3 vermelhas, 5 brancas), A tira vermelha: .
    Logo

Passo 4

Terceiro caso: ninguém tirou vermelha nos 4 primeiros draws (A, B, A, B todos brancos) e A tira vermelha no 5º.
Isso dá
P3 = 710cdot69cdot58cdot47cdot36

Passo 5

Quarto caso: continuam só brancas nos 6 primeiros draws e A tira vermelha no 7º.
P4 = 710cdot69cdot58cdot47cdot36cdot25cdot34

Passo 6

Agora somamos todas as chances de A ganhar em cada cenário:
P(A) = P1 + P2 + P3 + P4
Calculando e simplificando, dá
P(A) = 712

Resposta

A probabilidade de A ganhar é .

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