Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. Dois jogadores A e B sacam alternadamente, sem reposição, bolas dessas urna até que um dos competidores retire uma bola vermelha ganhando o jogo. Se A começa o jogo qual a probabilidade dele ganhar?
Passo 1
Beleza, vamos resumir: temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 7 brancas. Dois amigos, A e B, tiram bolas alternadamente (A começa), sem repor. Quem tirar a primeira bola vermelha ganha. O conteúdo aqui é probabilidade condicional sem reposição. Para resolver precisamos usar a regra do produto:
P(A e B) = P(A)·P(B|A),
e atualizar o número de bolas a cada extração.
P(A e B) = P(A)·P(B|A),
e atualizar o número de bolas a cada extração.
Passo 2
Primeiro caso: A ganha logo no 1º sorteio (draw 1).
P₁ = probabilidade de A tirar vermelha de cara:
P₁ = probabilidade de A tirar vermelha de cara:
Passo 3
Segundo caso: A não tira vermelha (tira branca), B também não (tira branca), e aí A tira vermelha no 3º sorteio.
- Prob de A tirar branca no draw 1:
. - Dado isso, restam 6 brancas e 3 vermelhas em 9 bolas, B tira branca:
. - Agora sobram 8 bolas (3 vermelhas, 5 brancas), A tira vermelha:
.
Logo
Passo 4
Terceiro caso: ninguém tirou vermelha nos 4 primeiros draws (A, B, A, B todos brancos) e A tira vermelha no 5º.
Isso dá
Isso dá
Passo 5
Quarto caso: continuam só brancas nos 6 primeiros draws e A tira vermelha no 7º.
Passo 6
Agora somamos todas as chances de A ganhar em cada cenário:
Calculando e simplificando, dá
Resposta
A probabilidade de A ganhar é
.