A urna A contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas, e a urna B contém 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
Se duas bolas são retiradas de cada urna, qual é a probabilidade de todas as quatro serem da mesma cor?

Passo 1

O enunciado dá duas urnas e pede a probabilidade de que, ao retirar duas bolas de cada urna, todas as quatro bolas sejam da mesma cor. Informações fornecidas:
  • Urna A: 5 bolas vermelhas e 3 brancas (total 8).
  • Urna B: 2 bolas vermelhas e 6 brancas (total 8).
    O que se pede: a probabilidade de que as quatro bolas retiradas (duas de A e duas de B) sejam todas vermelhas ou todas brancas.

Passo 2

Estratégia clara e intuitiva:
  • Existem duas maneiras disjuntas de ocorrer “todas da mesma cor”: todas vermelhas OU todas brancas. Como são disjuntas, a probabilidade total é a soma das probabilidades desses dois casos.
  • As retiradas nas duas urnas são independentes entre si (o resultado em A não afeta B). Portanto, para cada cor, a probabilidade de acontecer nas duas urnas é o produto das probabilidades de acontecer em cada urna separadamente.
    Vou calcular:
P(\text{todas iguais}) = P(\text{todas vermelhas}) + P(\text{todas brancas}),
com
P(\text{todas vermelhas}) = P(\text{2 vermelhas em }A)\cdot P(\text{2 vermelhas em }B),
P(\text{todas brancas}) = P(\text{2 brancas em }A)\cdot P(\text{2 brancas em }B).

Passo 3

Cálculo das probabilidades por urna usando contagem combinatória (hipergeométrica). Para tirar exatamente 2 bolas de uma cor ao retirar 2 sem reposição, usamos
P(\text{2 de uma cor})=\dfrac{\binom{\text{nº bolas dessa cor}}{2}}{\binom{\text{total}}{2}}.º
Primeiro, todas vermelhas:
  • Em A: número de maneiras de tirar 2 vermelhas é \binom{5}{2} e total de pares é \binom{8}{2}. Então
P(\text{2 vermelhas em }A)=\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}}=\dfrac{10}{28}=\dfrac{5}{14}.
  • Em B: \binom{2}{2}=1, \binom{8}{2}=28, então
P(\text{2 vermelhas em }B)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{8}{2}}=\dfrac{1}{28}.
Multiplicando (independência entre urnas),
P(\text{todas vermelhas})=\dfrac{5}{14}\cdot\dfrac{1}{28}=\dfrac{5}{392}.

Passo 4

Agora calculo para todas brancas:
  • Em A: \binom{3}{2}=3, \binom{8}{2}=28, então
P(\text{2 brancas em }A)=\dfrac{3}{28}.
  • Em B: \binom{6}{2}=15, \binom{8}{2}=28, então
P(\text{2 brancas em }B)=\dfrac{15}{28}.
Multiplicando,
P(\text{todas brancas})=\dfrac{3}{28}\cdot\dfrac{15}{28}=\dfrac{45}{784}.

Passo 5

Somando as duas possibilidades (são mutuamente exclusivas):
Primeiro, coloque tudo com mesmo denominador para somar facilmente. Note que \dfrac{5}{392}=\dfrac{10}{784}. Assim
P(\text{todas iguais})=\dfrac{10}{784}+\dfrac{45}{784}=\dfrac{55}{784}.
Valor decimal aproximado:
\dfrac{55}{784}\approx 0,070153\ldots
Comentário rápido de checagem: faz sentido que a probabilidade seja pequena, porque a urna B tem poucas vermelhas, então o caso “todas vermelhas” é raro; o caso “todas brancas” é mais provável, mas ainda assim limitado pela A ter só 3 brancas.

Resposta

\dfrac{55}{784}

Exercícios relacionados