A urna
contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas, e a urna
contém 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
Se duas bolas são retiradas de cada urna, qual é a probabilidade de todas as quatro serem da mesma cor?
Se duas bolas são retiradas de cada urna, qual é a probabilidade de todas as quatro serem da mesma cor?
Passo 1
O enunciado dá duas urnas e pede a probabilidade de que, ao retirar duas bolas de cada urna, todas as quatro bolas sejam da mesma cor. Informações fornecidas:
- Urna
: bolas vermelhas e brancas (total ). - Urna
: bolas vermelhas e brancas (total ).
O que se pede: a probabilidade de que as quatro bolas retiradas (duas dee duas de ) sejam todas vermelhas ou todas brancas.
Passo 2
Estratégia clara e intuitiva:
- Existem duas maneiras disjuntas de ocorrer “todas da mesma cor”: todas vermelhas OU todas brancas. Como são disjuntas, a probabilidade total é a soma das probabilidades desses dois casos.
- As retiradas nas duas urnas são independentes entre si (o resultado em
não afeta ). Portanto, para cada cor, a probabilidade de acontecer nas duas urnas é o produto das probabilidades de acontecer em cada urna separadamente.
Vou calcular:
com
Passo 3
Cálculo das probabilidades por urna usando contagem combinatória (hipergeométrica). Para tirar exatamente 2 bolas de uma cor ao retirar 2 sem reposição, usamos
Primeiro, todas vermelhas:
- Em
: número de maneiras de tirar 2 vermelhas é e total de pares é . Então
- Em
: , , então
Multiplicando (independência entre urnas),
Passo 4
Agora calculo para todas brancas:
- Em
: , , então
- Em
: , , então
Multiplicando,
Passo 5
Somando as duas possibilidades (são mutuamente exclusivas):
Primeiro, coloque tudo com mesmo denominador para somar facilmente. Note que . Assim
Primeiro, coloque tudo com mesmo denominador para somar facilmente. Note que
Valor decimal aproximado:
Comentário rápido de checagem: faz sentido que a probabilidade seja pequena, porque a urna
tem poucas vermelhas, então o caso “todas vermelhas” é raro; o caso “todas brancas” é mais provável, mas ainda assim limitado pela
A ter só 3 brancas.