A urna
contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas, e a urna
contém 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
Se uma bola é retirada de cada urna, qual é a probabilidade de ambas serem da mesma cor?
Se uma bola é retirada de cada urna, qual é a probabilidade de ambas serem da mesma cor?
Passo 1
Vamos anotar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Urna
: bolas vermelhas e brancas. Total em : bolas. - Urna
: bolas vermelhas e brancas. Total em : bolas. - Uma bola é retirada de cada urna (uma de
e uma de ). - O enunciado pede a probabilidade de as duas bolas retiradas serem da mesma cor (isto é, ambas vermelhas ou ambas brancas).
Passo 2
Definimos eventos e as regras de probabilidade que vamos usar (com explicação prática).
- Seja
o evento "sair vermelha da urna " e o evento "sair branca da urna ". - Seja
o evento "sair vermelha da urna " e o evento "sair branca da urna ". - Como a retirada de
e a retirada de são feitas em urnas diferentes, os resultados são independentes: a cor retirada em não altera a composição de e vice-versa. Para eventos independentes vale a regra do produto: - Queremos
. Como “ambas vermelhas” e “ambas brancas” são dois eventos mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), usamos a regra da soma para eventos disjuntos:
Passo 3
Calcular probabilidades marginais para cada urna (explicando como se obtém).
- Probabilidade de tirar vermelha da urna
: porque há vermelhas entre bolas. - Probabilidade de tirar branca da urna
: - Probabilidade de tirar vermelha da urna
: pois há vermelhas entre bolas. - Probabilidade de tirar branca da urna
:
Passo 4
Calcular a probabilidade de ambas serem vermelhas usando a regra do produto para eventos independentes (mostrando o cálculo passo a passo).
- Pela independência,
- Multiplicando numeradores e denominadores:
- Simplificando
dividindo por :
Passo 5
Calcular a probabilidade de ambas serem brancas, do mesmo modo.
- Pela independência,
- Multiplicando:
- Simplificando
dividindo por :
Passo 6
Somar as probabilidades dos dois casos disjuntos para obter a probabilidade pedida e simplificar.
- Somando:
- Simplificando
dividindo por :
Passo 7
Cheque rápido por interpretação (opcional, para ganhar confiança).
- Alternativamente, a probabilidade de cores diferentes seria
e como , confirma o resultado anterior.