A urna A contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas, e a urna B contém 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
Se uma bola é retirada de cada urna, qual é a probabilidade de ambas serem da mesma cor?

Passo 1

Vamos anotar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Urna A: 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Total em A: 8 bolas.
  • Urna B: 2 bolas vermelhas e 6 brancas. Total em B: 8 bolas.
  • Uma bola é retirada de cada urna (uma de A e uma de B).
  • O enunciado pede a probabilidade de as duas bolas retiradas serem da mesma cor (isto é, ambas vermelhas ou ambas brancas).

Passo 2

Definimos eventos e as regras de probabilidade que vamos usar (com explicação prática).
  • Seja R_A o evento "sair vermelha da urna A" e W_A o evento "sair branca da urna A".
  • Seja R_B o evento "sair vermelha da urna B" e W_B o evento "sair branca da urna B".
  • Como a retirada de A e a retirada de B são feitas em urnas diferentes, os resultados são independentes: a cor retirada em A não altera a composição de B e vice-versa. Para eventos independentes vale a regra do produto: P(E_1\\ \text{e}\\ E_2)=P(E_1)\cdot P(E_2).
  • Queremos P(\text{mesma cor}). Como “ambas vermelhas” e “ambas brancas” são dois eventos mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), usamos a regra da soma para eventos disjuntos: P(\text{mesma cor})=P(R_A\cap R_B)+P(W_A\cap W_B).

Passo 3

Calcular probabilidades marginais para cada urna (explicando como se obtém).
  • Probabilidade de tirar vermelha da urna A: P(R_A)=\frac{5}{8},porque há 5 vermelhas entre 8 bolas.
  • Probabilidade de tirar branca da urna A: P(W_A)=\frac{3}{8}.
  • Probabilidade de tirar vermelha da urna B: P(R_B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4},pois há 2 vermelhas entre 8 bolas.
  • Probabilidade de tirar branca da urna B: P(W_B)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.

Passo 4

Calcular a probabilidade de ambas serem vermelhas usando a regra do produto para eventos independentes (mostrando o cálculo passo a passo).
  • Pela independência, P(R_A\cap R_B)=P(R_A)\cdot P(R_B)=\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{8}.
  • Multiplicando numeradores e denominadores: P(R_A\cap R_B)=\frac{5\cdot 2}{8\cdot 8}=\frac{10}{64}.
  • Simplificando \dfrac{10}{64} dividindo por 2: P(R_A\cap R_B)=\frac{5}{32}.

Passo 5

Calcular a probabilidade de ambas serem brancas, do mesmo modo.
  • Pela independência, P(W_A\cap W_B)=P(W_A)\cdot P(W_B)=\frac{3}{8}\cdot\frac{6}{8}.
  • Multiplicando: P(W_A\cap W_B)=\frac{3\cdot 6}{8\cdot 8}=\frac{18}{64}.
  • Simplificando \dfrac{18}{64} dividindo por 2: P(W_A\cap W_B)=\frac{9}{32}.

Passo 6

Somar as probabilidades dos dois casos disjuntos para obter a probabilidade pedida e simplificar.
  • Somando: P(\text{mesma cor})=P(R_A\cap R_B)+P(W_A\cap W_B)=\frac{5}{32}+\frac{9}{32}=\frac{14}{32}.
  • Simplificando \dfrac{14}{32} dividindo por 2: P(\text{mesma cor})=\frac{7}{16}.

Passo 7

Cheque rápido por interpretação (opcional, para ganhar confiança).
  • Alternativamente, a probabilidade de cores diferentes seria P(R_A\cap W_B)+P(W_A\cap R_B)=\frac{5}{8}\cdot\frac{6}{8}+\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}=\frac{30}{64}+\frac{6}{64}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16},e como 1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}, confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{7}{16}

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