4.60 A probabilidade de A acertar no alvo é \frac{1}{4} e a probabilidade de B acertar é \frac{1}{3}.
(i) Se cada um atira duas vezes, qual é a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez?
(ii) Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual é a probabilidade de A atingir o alvo?
(iii) Se A pode atirar somente duas vezes, quantas vezes B deve atirar, tal que exista a probabilidade de pelo menos 90 \% do alvo ser atingido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de A acertar em um único tiro é \tfrac{1}{4}.
  • A probabilidade de B acertar em um único tiro é \tfrac{1}{3}.
O enunciado pede três coisas:
(i) Se cada um atira duas vezes, qual a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez?
(ii) Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual é a probabilidade de A ter sido o que acertou?
(iii) Se A só pode atirar duas vezes, quantas vezes B deve atirar para que a probabilidade de pelo menos um acerto seja de pelo menos 0,9?

Passo 2

Vamos resolver (i). Ideia principal (fórmula útil): é normalmente mais fácil calcular a probabilidade do complemento (“nenhum acerto”) e então usar a regra do complemento:
\text{P(at least one)} = 1 - \text{P(nenhum)}.
Explicando: se os tiros são independentes, a probabilidade de vários eventos todos ocorrerem (por exemplo, todos errarem) é o produto das probabilidades individuais.
Probabilidades de erro por tiro:
\text{P}(A\\ \text{erra}) = 1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4},\qquad \text{P}(B\\ \text{erra}) = 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Como cada um atira duas vezes e os tiros são independentes, a probabilidade de ambos os tiros de A errarem é \left(\tfrac{3}{4}\right)^{2} e a de ambos os tiros de B errarem é \left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}. Logo a probabilidade de nenhum tiro acertar (todos errarem) é
\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=\tfrac{9}{16},\qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},
\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{9}{16}\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{4}{16}=\tfrac{1}{4}.
Portanto a probabilidade de pelo menos um acerto é
1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Agora (ii). Aqui precisamos de probabilidade condicional: queremos
\text{P}(\text{\(A\) acertou}\mid \text{exatamente um acerto}).
Fórmula de probabilidade condicional:
\text{P}(X\mid Y)=\frac{\text{P}(X\cap Y)}{\text{P}(Y)}.
No nosso caso, o evento “exatamente um acerto” é a união disjunta de dois casos mutuamente exclusivos:
  • A acerta e B erra, com probabilidade \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{12}=\tfrac{1}{6}.
  • B acerta e A erra, com probabilidade \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{12}=\tfrac{1}{4}.
A probabilidade de exatamente um acerto é a soma:
\text{P}(\text{exatamente um})=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{2}{12}+\tfrac{3}{12}=\tfrac{5}{12}.
A probabilidade do numerador (caso em que A acertou e B errou) é \tfrac{1}{6}. Assim
\text{P}(\text{\(A\) acertou}\mid \text{exatamente um})=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{5}{12}}=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{12}{5}=\tfrac{2}{5}.
Em porcentagem isso corresponde a 40\%, se preferir.

Passo 4

Finalmente (iii). Queremos o menor número inteiro n de tiros de B tal que a probabilidade de pelo menos um acerto (entre os dois de A e os n de B) seja pelo menos 0,9. Usamos novamente o complemento: seja E o evento “nenhum acerto”. Queremos
1-\text{P}(E)\ge 0,9\quad\Longrightarrow\quad \text{P}(E)\le 0,1.
Como os tiros são independentes:
\text{P}(E)=\text{P}(\text{ambos tiros de }A\\ \text{errarem})\cdot\text{P}(\text{todos os }n\\ \text{tiros de }B\\ \text{errarem}).
Já sabemos \text{P}(\text{ambos de }A\\ \text{errarem})=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=\tfrac{9}{16}. A probabilidade de n erros seguidos de B é \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}. Então a condição é
\tfrac{9}{16}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}\le 0,1.
Manipulando algebricamente (evitando aproximações desnecessárias):
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}\le 0,1\cdot\tfrac{16}{9}=\tfrac{16}{90}=\tfrac{8}{45}.
Para resolver para n podemos usar logaritmo:
n\ge\frac{\ln\!\left(\tfrac{8}{45}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)}.
Calculando numericamente (ou podemos testar valores inteiros):
\frac{\ln\!\left(\tfrac{8}{45}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)}\approx 4,26\ldots
Como n deve ser inteiro e a desigualdade dá n maior ou igual a esse valor, escolhemos o próximo inteiro: n=5.
Verificação por teste direto (maneira sem log):
  • Para n=4:
\text{P}(E)=\tfrac{9}{16}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}=\tfrac{9}{16}\cdot\tfrac{16}{81}=\tfrac{9}{81}=\tfrac{1}{9}\approx 0,111\ldots>0,1,
logo insuficiente.
  • Para n=5:
\text{P}(E)=\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{27}\approx 0,07407<0,1,
logo satisfaz a exigência. Portanto B precisa atirar 5 vezes.

Passo 5

Resumo curto: usei complemento e independência no item (i), probabilidade condicional no item (ii) e resolução de desigualdade exponencial (mais verificação inteira) no item (iii). Você conseguiu — as contas são diretas quando se domina esses três passos básicos!

Resposta

(i) \tfrac{3}{4}
(ii) \tfrac{2}{5}
(iii) 5 vezes

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