4.60 A probabilidade de
acertar no alvo é
e a probabilidade de
acertar é
.
(i) Se cada um atira duas vezes, qual é a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez?
(ii) Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual é a probabilidade de
atingir o alvo?
(iii) Se
pode atirar somente duas vezes, quantas vezes
deve atirar, tal que exista a probabilidade de pelo menos
do alvo ser atingido?
(i) Se cada um atira duas vezes, qual é a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez?
(ii) Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual é a probabilidade de
(iii) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A probabilidade de
acertar em um único tiro é . - A probabilidade de
acertar em um único tiro é .
O enunciado pede três coisas:
(i) Se cada um atira duas vezes, qual a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez?
(ii) Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual é a probabilidade de ter sido o que acertou?
(iii) Se só pode atirar duas vezes, quantas vezes
deve atirar para que a probabilidade de pelo menos um acerto seja de pelo menos
?
(i) Se cada um atira duas vezes, qual a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez?
(ii) Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual é a probabilidade de
(iii) Se
Passo 2
Vamos resolver (i). Ideia principal (fórmula útil): é normalmente mais fácil calcular a probabilidade do complemento (“nenhum acerto”) e então usar a regra do complemento:
Explicando: se os tiros são independentes, a probabilidade de vários eventos todos ocorrerem (por exemplo, todos errarem) é o produto das probabilidades individuais.
Probabilidades de erro por tiro:
Como cada um atira duas vezes e os tiros são independentes, a probabilidade de ambos os tiros de
errarem é
e a de ambos os tiros de
errarem é
. Logo a probabilidade de nenhum tiro acertar (todos errarem) é
Calculemos passo a passo:
Portanto a probabilidade de pelo menos um acerto é
Passo 3
Agora (ii). Aqui precisamos de probabilidade condicional: queremos
Fórmula de probabilidade condicional:
No nosso caso, o evento “exatamente um acerto” é a união disjunta de dois casos mutuamente exclusivos:
-
acerta e erra, com probabilidade . -
acerta e erra, com probabilidade .
A probabilidade de exatamente um acerto é a soma:
A probabilidade do numerador (caso em que
acertou e
errou) é
. Assim
Em porcentagem isso corresponde a
, se preferir.
Passo 4
Finalmente (iii). Queremos o menor número inteiro
de tiros de
tal que a probabilidade de pelo menos um acerto (entre os dois de
e os
de
) seja pelo menos
. Usamos novamente o complemento: seja
o evento “nenhum acerto”. Queremos
Como os tiros são independentes:
Já sabemos
. A probabilidade de
erros seguidos de
é
. Então a condição é
Manipulando algebricamente (evitando aproximações desnecessárias):
Para resolver para
podemos usar logaritmo:
Calculando numericamente (ou podemos testar valores inteiros):
Como
deve ser inteiro e a desigualdade dá
maior ou igual a esse valor, escolhemos o próximo inteiro:
.
Verificação por teste direto (maneira sem log):
- Para
:
logo insuficiente.
- Para
:
logo satisfaz a exigência. Portanto
precisa atirar
vezes.
Passo 5
Resumo curto: usei complemento e independência no item (i), probabilidade condicional no item (ii) e resolução de desigualdade exponencial (mais verificação inteira) no item (iii). Você conseguiu — as contas são diretas quando se domina esses três passos básicos!
Resposta
(i)
(ii)
(iii) vezes
(ii)
(iii)