Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam:
Calcular
;
Calcular
Passo 1
Beleza! Vamos recortar o que o exercício pede e o que vai cair na nossa cabeça:
Enunciado resumido:
– Urna com 3 bolas vermelhas e 2 verdes.
– Retiram-se 2 bolas sem reposição.
– Definimos duas variáveis aleatórias Bernoulli:
Enunciado resumido:
– Urna com 3 bolas vermelhas e 2 verdes.
– Retiram-se 2 bolas sem reposição.
– Definimos duas variáveis aleatórias Bernoulli:
O que precisamos: calcular
Conteúdo envolvido: probabilidade condicional, variáveis Bernoulli, fórmula de esperança
e variância
.
Passo 2
Calcular
:
Para uma Bernoulli, .
Aqui
Para uma Bernoulli,
Aqui
Logo
Passo 3
Calcular
:
Para Bernoulli vale
Para Bernoulli vale
onde
. Então
Passo 4
Calcular
:
Também é Bernoulli, então . A gente pode usar total de probabilidade:
Também é Bernoulli, então
– Se a primeira foi vermelha (
, prob.
), sobram 2 vermelhas e 2 verdes, logo
– Se a primeira foi verde (
, prob.
), sobram 3 vermelhas e 1 verde, logo
Assim
Então
Passo 5
Calcular
:
De novo é Bernoulli com parâmetro , então
De novo é Bernoulli com parâmetro
Resposta
E(X)=3/5, Var(X)=6/25; E(Y)=3/5, Var(Y)=6/25.