Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam:

Calcular X=l 0 se a primeira bola for verde; 1 se a primeira bola for vermelha; Y=l 0 se a segunda bola for verde; 1 se a segunda bola for vermelha; ;

Passo 1

Beleza! Vamos recortar o que o exercício pede e o que vai cair na nossa cabeça:
Enunciado resumido:
– Urna com 3 bolas vermelhas e 2 verdes.
– Retiram-se 2 bolas sem reposição.
– Definimos duas variáveis aleatórias Bernoulli:
X = 0, & se a primeira bola for verde, 1, & se a primeira bola for vermelha, Y = 0, & se a segunda bola for verde, 1, & se a segunda bola for vermelha
O que precisamos: calcular
E(X),;E(Y),;Var(X),;Var(Y)
Conteúdo envolvido: probabilidade condicional, variáveis Bernoulli, fórmula de esperança e variância .

Passo 2

Calcular P(X=1)=# vermelhastotal=35 :
Para uma Bernoulli, E(X)=0cdot P(X=0)+1cdot P(X=1)=35 .
Aqui
Logo

Passo 3

Calcular Var(X)=p,(1-p), :
Para Bernoulli vale
Var(X)=35,l(1-35r) =35cdot25 =625
onde . Então

Passo 4

Calcular P(Y=1) =P(Y=1mid X=1),P(X=1)+P(Y=1mid X=0),P(X=0) :
Também é Bernoulli, então P(Y=1mid X=1)=24=12 . A gente pode usar total de probabilidade:
P(Y=1mid X=0)=34
– Se a primeira foi vermelha ( P(Y=1) =35cdot12+25cdot34 =310+620 =310+310 =610 =35 , prob. E(Y)=35 ), sobram 2 vermelhas e 2 verdes, logo
– Se a primeira foi verde ( , prob. ), sobram 3 vermelhas e 1 verde, logo
Assim
Então

Passo 5

Calcular Var(Y) =p,(1-p) =35cdot25 =625 :
De novo é Bernoulli com parâmetro , então

Resposta

E(X)=3/5, Var(X)=6/25; E(Y)=3/5, Var(Y)=6/25.

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