Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam:
e
;
Passo 1
Beleza, recapitulando: temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 verdes, e vamos tirar 2 bolas SEM reposição. Definimos duas variáveis indicadoras:
se a primeira bola é vermelha (e 0 se for verde),
se a segunda bola é vermelha (e 0 se for verde).
O que a gente quer é
O que a gente quer é
-
– a esperança do total de bolas vermelhas tiradas, -
– a variância desse total.
Pra resolver, vamos precisar de:
- Noções de probabilidade de eventos sem reposição,
- Propriedade da linearidade da esperança,
- Fórmula da variância de soma de variáveis (incluindo covariância).
Passo 2
Calcular
e
.
Por definição de esperança de variável indicadora:
Por definição de esperança de variável indicadora:
Como a segunda extração também vê 3 vermelhas em 5 bolas antes de tirar, simetricamente
Passo 3
Usar a linearidade da esperança:
Passo 4
Agora a variância. A fórmula é
E como
e
são indicadoras de Bernoulli:
e igual para
.
Passo 5
Falta a covariância.
Note que
só quando as duas bolas são vermelhas.
Então
Substituindo tudo na variância da soma: