Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam:

X=l 0 se a primeira bola for verde; 1 se a primeira bola for vermelha; Y=l 0 se a segunda bola for verde; 1 se a segunda bola for vermelha; e E(X+Y);

Passo 1

Beleza, recapitulando: temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 verdes, e vamos tirar 2 bolas SEM reposição. Definimos duas variáveis indicadoras:
se a primeira bola é vermelha (e 0 se for verde),
se a segunda bola é vermelha (e 0 se for verde).
O que a gente quer é
  1. – a esperança do total de bolas vermelhas tiradas,
  2. – a variância desse total.
    Pra resolver, vamos precisar de:
  • Noções de probabilidade de eventos sem reposição,
  • Propriedade da linearidade da esperança,
  • Fórmula da variância de soma de variáveis (incluindo covariância).

Passo 2

Calcular E(X)=P(X=1)=P(1ª bola é vermelha)=35 e E(Y)=P(Y=1)=35 .
Por definição de esperança de variável indicadora:
ªé
Como a segunda extração também vê 3 vermelhas em 5 bolas antes de tirar, simetricamente

Passo 3

Usar a linearidade da esperança:
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=35+35=65

Passo 4

Agora a variância. A fórmula é
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2,Cov(X,Y)
E como Var(X)=E(X)(1-E(X))=35!l(1-35r)=35cdot25=625, e são indicadoras de Bernoulli:
e igual para .

Passo 5

Falta a covariância.
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
Note que E(XY)=P(X=1,Y=1) = P(1ª vermelha e 2ª também) = 35times24 = 620 = 310 só quando as duas bolas são vermelhas.
Cov(X,Y) = 310 - 35cdot35 = 310 - 925 = 15-1850 = -350 ªªé
Então
Var(X+Y) = 625 + 625 + 2l(-350r) = 1225 - 650 = 2450 - 650 = 1850 = 925
Substituindo tudo na variância da soma:

Resposta

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