Uma urna contém 2 bolinhas vermelhas, 1 bolinha azul e 2 bolinhas verdes. Bolinhas são retiradas sucessivamente, sem reposição, até que a primeira bolinha verde seja retirada. Defina o vetor aleatório
, onde
é o número de bolinhas vermelhas retiradas antes da primeira bolinha verde, e
é o número de bolinhas azuis retiradas antes da primeira bolinha verde.
© Encontre a distribuição marginal de
.
© Encontre a distribuição marginal de
Passo 1
Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma urna com 2 bolas vermelhas ®, 1 azul (B) e 2 verdes (G). A gente puxa bolas sem repor até sair a primeira verde. Define-se o vetor aleatório
, onde
-
= número de vermelhas puxadas antes da primeira verde, -
= número de azuis puxadas antes da primeira verde.
Na letra © pedem só a distribuição marginal de
, isto é, encontrar
Conteúdo: Probabilidade condicionada e sem reposição. A cada extração as chances mudam porque a urna vai ficando com menos bolas. Vamos montar casos “árvore” ou usar contagens diretas para cada
.
Passo 2
Calcular
. Isso significa “nenhuma vermelha antes da 1ª verde”. A primeira verde pode sair já no 1º ou no 2º sorteio (não dá para sair depois, porque só há 1 bola azul e, depois dela, só sobram vermelhas e verdes; se não saiu verde antes, ela sai no 2º).
- Verde na 1ª posição:
- Azul na 1ª e verde na 2ª:
Não há como ter duas bolas não-verdes sem ter vermelha (só existe 1 azul). Logo
Passo 3
Calcular
. Aqui queremos exatamente 1 vermelha antes da primeira verde. Podem ocorrer dois cenários de parada:
- Para a 1ª verde sair no 2º sorteio, o 1º deve ser R:
- Para a 1ª verde sair no 3º sorteio, nos dois primeiros tiramos não-verde e entre eles deve aparecer exatamente 1 R (e 1 B). Há duas ordens: R→B→G ou B→R→G.
- R,B,G:
- B,R,G:
Somando dá.
Somando os dois cenários:
Passo 4
Calcular
. Queremos exatamente 2 vermelhas antes da 1ª verde. Isso só pode ocorrer se a verde aparecer no 3º ou no 4º sorteio:
- Verde no 3º: os dois primeiros têm de ser R,R.
- Verde no 4º: os três primeiros são não-verdes (R,R,B em qualquer ordem), mas exatamente 2 R e 1 B. Há 3 permutações, cada uma com probabilidade
(pode checar por árvore). Logo total
Somando:
Resposta
A distribuição marginal de
é