Uma urna contém 2 bolinhas vermelhas, 1 bolinha azul e 2 bolinhas verdes. Bolinhas são retiradas sucessivamente, sem reposição, até que a primeira bolinha verde seja retirada. Defina o vetor aleatório W=(W1, W2), onde W1 é o número de bolinhas vermelhas retiradas antes da primeira bolinha verde, e W2 é o número de bolinhas azuis retiradas antes da primeira bolinha verde.
© Encontre a distribuição marginal de W1.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma urna com 2 bolas vermelhas ®, 1 azul (B) e 2 verdes (G). A gente puxa bolas sem repor até sair a primeira verde. Define-se o vetor aleatório P(W1=0),;P(W1=1),;P(W1=2) , onde
  • = número de vermelhas puxadas antes da primeira verde,
  • = número de azuis puxadas antes da primeira verde.
Na letra © pedem só a distribuição marginal de , isto é, encontrar
Conteúdo: Probabilidade condicionada e sem reposição. A cada extração as chances mudam porque a urna vai ficando com menos bolas. Vamos montar casos “árvore” ou usar contagens diretas para cada .

Passo 2

Calcular P(G no 1º) = 25 . Isso significa “nenhuma vermelha antes da 1ª verde”. A primeira verde pode sair já no 1º ou no 2º sorteio (não dá para sair depois, porque só há 1 bola azul e, depois dela, só sobram vermelhas e verdes; se não saiu verde antes, ela sai no 2º).
  1. Verde na 1ª posição:
P(B, depois G) = 15,cdot,24 = 110 º
  1. Azul na 1ª e verde na 2ª:
P(W1=0) = 25 + 110 = 410 + 110 = boxedtfrac12
Não há como ter duas bolas não-verdes sem ter vermelha (só existe 1 azul). Logo

Passo 3

Calcular P(R, depois G) = 25,cdot,24 = 420 = 15 . Aqui queremos exatamente 1 vermelha antes da primeira verde. Podem ocorrer dois cenários de parada:
  1. Para a 1ª verde sair no 2º sorteio, o 1º deve ser R:
P(W1=1) = 15 + 215 = 315 + 215 = boxedtfrac13
  1. Para a 1ª verde sair no 3º sorteio, nos dois primeiros tiramos não-verde e entre eles deve aparecer exatamente 1 R (e 1 B). Há duas ordens: R→B→G ou B→R→G.
  • R,B,G:
  • B,R,G:
    Somando dá .
Somando os dois cenários:

Passo 4

Calcular P(R,R,G) = 25cdot14cdot23 = 460 = 115 . Queremos exatamente 2 vermelhas antes da 1ª verde. Isso só pode ocorrer se a verde aparecer no 3º ou no 4º sorteio:
  1. Verde no 3º: os dois primeiros têm de ser R,R.
3cdot130 = 110
  1. Verde no 4º: os três primeiros são não-verdes (R,R,B em qualquer ordem), mas exatamente 2 R e 1 B. Há 3 permutações, cada uma com probabilidade
    P(W1=2) = 115 + 110 = 230 + 330 = boxedtfrac16 (pode checar por árvore). Logo total
Somando:

Resposta

A distribuição marginal de P(W1=0)=12, P(W1=1)=13, P(W1=2)=16 é

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