Uma urna contém duas moedas:
- A moeda 1 é justa (
cara,
coroa).
- A moeda 2 é viciada, com
de chance de dar cara e
de dar coroa.
Uma moeda é escolhida aleatoriamente e lançada 3 vezes.
a) Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 caras nos 3 lançamentos?
b) Sabendo que o resultado foi exatamente 2 caras, qual é a probabilidade de a moeda escolhida ser a moeda 2 ?
c) Se o experimento fosse repetido 100 vezes, qual seria o número esperado de vezes em que se obteria 2 caras?
a) Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 caras nos 3 lançamentos?
b) Sabendo que o resultado foi exatamente 2 caras, qual é a probabilidade de a moeda escolhida ser a moeda 2 ?
c) Se o experimento fosse repetido 100 vezes, qual seria o número esperado de vezes em que se obteria 2 caras?
Passo 1
O enunciado descreve um experimento em que escolhemos aleatoriamente, com probabilidade igual, uma de duas moedas e a lançamos 3 vezes. A moeda 1 é justa (
) e a moeda 2 dá cara com probabilidade
.
Conteúdos usados: distribuição binomial para cada moeda, Teorema da Probabilidade Total, Teorema de Bayes e expectativa de soma de variáveis indicadoras.
Conteúdos usados: distribuição binomial para cada moeda, Teorema da Probabilidade Total, Teorema de Bayes e expectativa de soma de variáveis indicadoras.
Passo 2
Para cada moeda, a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 3 lançamentos é dada por
- Se for a moeda 1 (
):
- Se for a moeda 2 (
):
Passo 3
Aplicando o Teorema da Probabilidade Total, com
:
Passo 4
Para achar
, usamos Bayes:
Passo 5
Se repetirmos o experimento 100 vezes, cada repetição tem probabilidade
de “sucesso” (2 caras). Pela linearidade da esperança, o número esperado de sucessos é
Resposta
a)
b)
c) Esperança em 100 repetições: vezes.
b)
c) Esperança em 100 repetições: