Uma urna contém duas moedas:
  • A moeda 1 é justa ( 50 % cara, 50 % coroa).
  • A moeda 2 é viciada, com 80 % de chance de dar cara e 20 % de dar coroa.
Uma moeda é escolhida aleatoriamente e lançada 3 vezes.
a) Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 caras nos 3 lançamentos?
b) Sabendo que o resultado foi exatamente 2 caras, qual é a probabilidade de a moeda escolhida ser a moeda 2 ?
c) Se o experimento fosse repetido 100 vezes, qual seria o número esperado de vezes em que se obteria 2 caras?

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que escolhemos aleatoriamente, com probabilidade igual, uma de duas moedas e a lançamos 3 vezes. A moeda 1 é justa ( p=0,5) e a moeda 2 dá cara com probabilidade 0,8.
Conteúdos usados: distribuição binomial para cada moeda, Teorema da Probabilidade Total, Teorema de Bayes e expectativa de soma de variáveis indicadoras.

Passo 2

Para cada moeda, a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 3 lançamentos é dada por
P(X=2)=binom32p^2(1-p),
  • Se for a moeda 1 ( p=0,5):
P(2 carasmid M1) =binom32(0,5)^2(0,5) =3cdot0,25cdot0,5 =0,375
  • Se for a moeda 2 ( p=0,8):
P(2 carasmid M2) =binom32(0,8)^2(0,2) =3cdot0,64cdot0,2 =0,384

Passo 3

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total, com P(M1)=P(M2)=0,5:
P(2 caras) =0,5cdot0,375 + 0,5cdot0,384 =0,1875 + 0,192 =0,3795

Passo 4

Para achar P(M2mid 2 caras), usamos Bayes:
P(M2mid 2) =P(2mid M2),P(M2)P(2 caras) =0,384cdot0,50,3795 approx0,506

Passo 5

Se repetirmos o experimento 100 vezes, cada repetição tem probabilidade P(2 caras)=0,3795 de “sucesso” (2 caras). Pela linearidade da esperança, o número esperado de sucessos é
100 times 0,3795 = 37,95

Resposta

a) P(2 caras)=0,3795
b) P(M2mid 2 caras)approx0,506
c) Esperança em 100 repetições: 37,95 vezes.

Exercícios relacionados