A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de probabilidade envolvendo duas urnas e uma moeda. A ideia é descobrir qual a chance de termos tirado cara na moeda, dado que saiu uma ficha vermelha. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos envolvidos:
  • Evento C: A moeda deu cara.
  • Evento K: A moeda deu coroa.
  • Evento V: Foi tirada uma ficha vermelha.
Sabemos que a moeda é “honesta”, ou seja, a probabilidade de dar cara ou coroa é igual:
P(C) = P(K) = 0,5

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma ficha vermelha de cada urna:
  • Urna A tem 3 fichas vermelhas e 2 azuis, totalizando 5 fichas.
    P(V|C) = 35
  • Urna B tem 2 fichas vermelhas e 8 azuis, totalizando 10 fichas.
    P(V|K) = 210 = 15

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de ter dado cara dado que saiu uma ficha vermelha, isso é $ P(C|V) $. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
P(C|V)
Primeiro, precisamos calcular $ P(V) $, a probabilidade de tirar uma ficha vermelha de qualquer urna. Isso pode ser feito da seguinte maneira:
P(C|V) = P(V|C) cdot P(C)P(V)
P(V)
P(V) = P(V|C) cdot P(C) + P(V|K) cdot P(K)
P(V) = 35 cdot 0,5 + 15 cdot 0,5

Passo 5

Agora, aplicando os valores no Teorema de Bayes:
P(C|V) = 35 cdot 0,50,4
P(C|V) = 3100,4
P(C|V) = 310 div 410
P(C|V) = 34

Resposta

A probabilidade de ter saído cara no lançamento é $ \frac{3}{4} $ ou 75 %.

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