Uma urna contém
bolas vermelhas,
azuis e
preta.
Duas bolas são retiradas sem reposição.
Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?
Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A urna contém
bolas vermelhas, azuis e preta. - Duas bolas são retiradas sem reposição (ou seja, a segunda retirada acontece com uma bola a menos na urna).
- Pergunta: qual é a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul entre as duas retiradas?
Passo 2
Escolha do método: vou usar a estratégia do complemento porque é a forma mais rápida e simples aqui. A ideia do complemento é transformar o evento “pelo menos uma azul” em algo mais fácil de calcular. Alternativa seria calcular diretamente “exatamente uma azul” e “duas azuis” e somar, o que também funciona; farei essa verificação depois para confirmar.
Passo 3
Entendendo o complemento: o evento “pelo menos uma bola azul” é o complemento do evento “nenhuma bola azul” (ou seja, ambas as bolas são não-azuis). Logo, usando a regra do complemento:
Explicando:
é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam escolhidas entre as bolas vermelhas e preta.
Passo 4
Calcular
passo a passo por probabilidades condicionais:
- Total de bolas inicialmente: ). Destas, não-azuis (vermelhas + preta) são ).
- Probabilidade de a primeira bola ser não-azul:
- Após retirar uma não-azul (sem reposição), restam ) bolas no total e ) não-azuis. Probabilidade de a segunda também ser não-azul dado que a primeira foi não-azul:
- Pela regra do produto para eventos sucessivos:
Agora simplificamos:
Passo 5
Aplicando o complemento:
Em decimal isso é
). Interpretação: em média, se você repetisse esse experimento muitas vezes, em cerca de
das vezes sairia pelo menos uma azul.
Passo 6
Verificação (método direto) — só para treinar a ideia alternativa: calcular
.
- Probabilidade de duas azuis:
- Probabilidade de exatamente uma azul (duas ordens possíveis: azul então não-azul, ou não-azul então azul):
Calcule cada termo:
Somando:
Somando os dois casos:
o que confirma o resultado obtido pelo complemento.
Passo 7
Resumo final e dica de prova: a forma mais rápida na prova é usar o complemento. Conte sempre quantas bolas do tipo que você quer e do tipo contrário existem, calcule a probabilidade de tirar só do contrário e faça
isso. Você conseguiu — foco e confiança!