Uma urna contém \mathbf{3} bolas vermelhas, \mathbf{2} azuis e \mathbf{1} preta.
Duas bolas são retiradas sem reposição.
Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A urna contém \mathbf{3} bolas vermelhas, \mathbf{2} azuis e \mathbf{1} preta.
  • Duas bolas são retiradas sem reposição (ou seja, a segunda retirada acontece com uma bola a menos na urna).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul entre as duas retiradas?

Passo 2

Escolha do método: vou usar a estratégia do complemento porque é a forma mais rápida e simples aqui. A ideia do complemento é transformar o evento “pelo menos uma azul” em algo mais fácil de calcular. Alternativa seria calcular diretamente “exatamente uma azul” e “duas azuis” e somar, o que também funciona; farei essa verificação depois para confirmar.

Passo 3

Entendendo o complemento: o evento “pelo menos uma bola azul” é o complemento do evento “nenhuma bola azul” (ou seja, ambas as bolas são não-azuis). Logo, usando a regra do complemento:
P(\text{pelo menos uma azul}) = 1 - P(\text{nenhuma azul}).
Explicando: P(\text{nenhuma azul}) é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam escolhidas entre as bolas vermelhas e preta.

Passo 4

Calcular P(\text{nenhuma azul}) passo a passo por probabilidades condicionais:
  • Total de bolas inicialmente: \(3 + 2 + 1 = 6). Destas, não-azuis (vermelhas + preta) são \(3 + 1 = 4).
  • Probabilidade de a primeira bola ser não-azul:
P(\text{1ª não-azul}) = \frac{4}{6}.ªã
  • Após retirar uma não-azul (sem reposição), restam \(5) bolas no total e \(3) não-azuis. Probabilidade de a segunda também ser não-azul dado que a primeira foi não-azul:
P(\text{2ª não-azul} \mid \text{1ª não-azul}) = \frac{3}{5}.ªãªã
  • Pela regra do produto para eventos sucessivos:
P(\text{nenhuma azul}) = \frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}.
Agora simplificamos:
\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5} = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5} = \frac{2}{5}.

Passo 5

Aplicando o complemento:
P(\text{pelo menos uma azul}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}.
Em decimal isso é \(0,6). Interpretação: em média, se você repetisse esse experimento muitas vezes, em cerca de 60\% das vezes sairia pelo menos uma azul.

Passo 6

Verificação (método direto) — só para treinar a ideia alternativa: calcular P(\text{exatamente uma azul}) + P(\text{duas azuis}).
  • Probabilidade de duas azuis:
P(\text{2 azuis}) = \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}.
  • Probabilidade de exatamente uma azul (duas ordens possíveis: azul então não-azul, ou não-azul então azul):
P(\text{exatamente 1 azul}) = \frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5} + \frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}.
Calcule cada termo:
\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}, \quad \frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}.
Somando:
P(\text{exatamente 1 azul}) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}.
Somando os dois casos:
\frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5},
o que confirma o resultado obtido pelo complemento.

Passo 7

Resumo final e dica de prova: a forma mais rápida na prova é usar o complemento. Conte sempre quantas bolas do tipo que você quer e do tipo contrário existem, calcule a probabilidade de tirar só do contrário e faça 1- isso. Você conseguiu — foco e confiança!

Resposta

\dfrac{3}{5} = 0,6

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