Uma urna contém n bolas das quais somente uma é vermelha, as outras são brancas. Se k destas bolas forem retiradas uma de cada vez da urna, qual a probabilidade da bola vermelha ser selecionada?

Passo 1

Relembrando o enunciado: temos uma urna com n bolas, das quais exatamente uma é vermelha e as demais são brancas. Vamos retirar k bolas sem reposição, uma a uma, e queremos a probabilidade de que a bola vermelha seja uma das k selecionadas. O conteúdo principal aqui é probabilidade em amostragem sem reposição (distribuição hipergeométrica ou abordagem de complemento).

Passo 2

Em vez de calcular diretamente a probabilidade de tirar a vermelha, é mais fácil usar o complemento. Chamemos de A o evento “a vermelha é selecionada em até k retiradas” e de A^c o evento “não tiramos a vermelha em nenhuma das k retiradas”. Então
P(A) \;=\; 1 - P(A^c).

Passo 3

Para ocorrer A^c, em cada uma das k retiradas devemos tirar uma bola branca. A probabilidade de tirar bola branca na 1ª retirada é \tfrac{n-1}{n}, na 2ª é \tfrac{n-2}{n-1}, e assim por diante, até a k-ésima, que é \tfrac{n-k}{\,n-k+1\,}. Multiplicando esses fatores, obtemos
P(A^c) =\frac{n-1}{n}\times\frac{n-2}{n-1}\times\cdots\times\frac{n-k}{\,n-k+1\,} =\frac{n-k}{n}.

Passo 4

Portanto, a probabilidade de selecionar a bola vermelha em alguma das k retiradas é
P(A) =1 - P(A^c) =1 - \frac{n-k}{n} =\frac{k}{n}.

Resposta

\displaystyle \frac{k}{n}

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