Uma urna contém n bolas das quais somente uma é vermelha, as outras são brancas. Se k destas bolas forem retiradas uma de cada vez da urna, qual a probabilidade da bola vermelha ser selecionada?
Passo 1
Relembrando o enunciado: temos uma urna com
bolas, das quais exatamente uma é vermelha e as demais são brancas. Vamos retirar
bolas sem reposição, uma a uma, e queremos a probabilidade de que a bola vermelha seja uma das
selecionadas. O conteúdo principal aqui é probabilidade em amostragem sem reposição (distribuição hipergeométrica ou abordagem de complemento).
Passo 2
Em vez de calcular diretamente a probabilidade de tirar a vermelha, é mais fácil usar o complemento. Chamemos de
o evento “a vermelha é selecionada em até
retiradas” e de
o evento “não tiramos a vermelha em nenhuma das
retiradas”. Então
Passo 3
Para ocorrer
, em cada uma das
retiradas devemos tirar uma bola branca. A probabilidade de tirar bola branca na 1ª retirada é
, na 2ª é
, e assim por diante, até a
-ésima, que é
. Multiplicando esses fatores, obtemos
Passo 4
Portanto, a probabilidade de selecionar a bola vermelha em alguma das
retiradas é