Uma urna contém quatro bolas brancas e três pretas, e uma segunda urna contém três bolas brancas e cinco pretas. Uma bola é retirada da primeira urna e colocada, sem ser vista, na segunda urna. Depois desse procedimento, qual é a probabilidade de que uma bola retirada da segunda urna seja preta? (Resp: 38/63)

Passo 1

Resumo: Temos duas urnas. A primeira tem 4 bolas brancas e 3 pretas; a segunda tem 3 brancas e 5 pretas. A gente retira uma bola da primeira (sem ver a cor) e coloca na segunda. Depois disso, tira uma bola da segunda urna.
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema da Probabilidade Total.
O que vamos precisar:
  • Calcular a probabilidade de retirar certa cor na primeira urna.
  • Ajustar o conteúdo da segunda urna conforme a cor transferida.
  • Usar o Teorema da Probabilidade Total:
P(B) = sumi P(Ai),P(Bmid Ai),
onde os são os cenários “transferir branca” e “transferir preta” e é “retirar preta da segunda urna”.

Passo 2

Calcular as probabilidades de transferir cada cor da primeira urna:
  • P(transferir branca) = , porque são 4 brancas em 7 bolas.
  • P(transferir preta) = , porque são 3 pretas em 7 bolas.

Passo 3

Se transferiu uma branca, a segunda urna passa a ter P(preta 2ª urnamid transferiu branca) = 59 brancas e 5 pretas, total 9 bolas.
Logo,
ª

Passo 4

Se transferiu uma preta, a segunda urna fica com 3 brancas e P(preta 2ª urnamid transferiu preta) = 69 = 23 pretas, total 9 bolas.
Então,
ª

Passo 5

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total:
P(preta na 2ª urna) = P(branca transferida)cdot P(pretamidbranca) + P(preta transferida)cdot P(pretamidpreta), ª
logo
P = 47cdot59 ;+; 37cdot69 = 2063 + 1863 = 3863

Resposta

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