Uma urna contém
bolas brancas e
bolas pretas.
Extraem-se todas elas ao acaso. Qual é a probabilidade de que saiam primeiro as brancas e depois as pretas?
Extraem-se todas elas ao acaso. Qual é a probabilidade de que saiam primeiro as brancas e depois as pretas?
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Há
bolas brancas e bolas pretas na urna. - Todas as bolas são extraídas ao acaso, uma a uma, sem reposição, até que não reste nenhuma.
A pergunta é: - Qual é a probabilidade de que, na sequência completa de extração, todas as bolas brancas saiam primeiro e só depois comecem as pretas?
Passo 2
Vamos entender o que significa “todas as brancas primeiro e depois as pretas” em termos de sequências. Cada extração gera uma sequência de cores de comprimento
formada por
símbolos “branca” e
símbolos “preta”. Como as extrações são aleatórias e sem reposição, todas as sequências de
posições com exatamente
brancas e
pretas são igualmente prováveis.
O número total de sequências de cores possíveis (ignorando a identidade das bolas dentro de cada cor) é o número de maneiras de escolher quais das
posições serão ocupadas por brancas. Isso é o coeficiente binomial
O número total de sequências de cores possíveis (ignorando a identidade das bolas dentro de cada cor) é o número de maneiras de escolher quais
Entre essas sequências, apenas uma sequência tem todas as brancas nas primeiras
posições e as pretas nas últimas
posições. Portanto, pela contagem combinatória direta, a probabilidade procurada é
Passo 3
Para consolidar a intuição, vamos também calcular por probabilidade condicional passo a passo (método multiplicativo), que dá a mesma resposta. A probabilidade da primeira bola ser branca é
Se a primeira foi branca, restam
brancas e
bolas no total; a probabilidade da segunda ser branca é
Continuando assim, a probabilidade de as primeiras
extrações serem todas brancas é o produto
Passo 4
Agora simplificamos esse produto. O numerador é
e o denominador é
Logo o produto vale
Repare que isso é exatamente o inverso do coeficiente binomial visto no Passo 2:
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar: se
e
, então a probabilidade é
. Pelo produto:
.
Dica de prova/exame: use a contagem com o coeficiente binomial quando quiser raciocínio curto; use o produto de probabilidades se preferir visualizar passo a passo — os dois levam à mesma expressão. Força aí — dá para decorar essa ideia simples e aplicar rápido na prova!
Dica de prova/exame: use a contagem com o coeficiente binomial quando quiser raciocínio curto; use o produto de probabilidades se preferir visualizar passo a passo — os dois levam à mesma expressão. Força aí — dá para decorar essa ideia simples e aplicar rápido na prova!