Uma urna contém x bolas brancas e y bolas pretas.
Extraem-se todas elas ao acaso. Qual é a probabilidade de que saiam primeiro as brancas e depois as pretas?

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • x bolas brancas e y bolas pretas na urna.
  • Todas as bolas são extraídas ao acaso, uma a uma, sem reposição, até que não reste nenhuma.
    A pergunta é:
  • Qual é a probabilidade de que, na sequência completa de extração, todas as bolas brancas saiam primeiro e só depois comecem as pretas?

Passo 2

Vamos entender o que significa “todas as brancas primeiro e depois as pretas” em termos de sequências. Cada extração gera uma sequência de cores de comprimento x+y formada por x símbolos “branca” e y símbolos “preta”. Como as extrações são aleatórias e sem reposição, todas as sequências de x+y posições com exatamente x brancas e y pretas são igualmente prováveis.
O número total de sequências de cores possíveis (ignorando a identidade das bolas dentro de cada cor) é o número de maneiras de escolher quais x das x+y posições serão ocupadas por brancas. Isso é o coeficiente binomial
\binom{x+y}{x}=\frac{(x+y)!}{x!\,y!}.
Entre essas sequências, apenas uma sequência tem todas as brancas nas primeiras x posições e as pretas nas últimas y posições. Portanto, pela contagem combinatória direta, a probabilidade procurada é
\frac{1}{\binom{x+y}{x}}.

Passo 3

Para consolidar a intuição, vamos também calcular por probabilidade condicional passo a passo (método multiplicativo), que dá a mesma resposta. A probabilidade da primeira bola ser branca é
\frac{x}{x+y}.
Se a primeira foi branca, restam x-1 brancas e x+y-1 bolas no total; a probabilidade da segunda ser branca é
\frac{x-1}{x+y-1}.
Continuando assim, a probabilidade de as primeiras x extrações serem todas brancas é o produto
\frac{x}{x+y}\cdot\frac{x-1}{x+y-1}\cdot\frac{x-2}{x+y-2}\cdots\frac{1}{y+1}.

Passo 4

Agora simplificamos esse produto. O numerador é
x(x-1)\cdots1 = x!,
e o denominador é
(x+y)(x+y-1)\cdots(y+1)=\frac{(x+y)!}{y!}.
Logo o produto vale
\frac{x!}{\dfrac{(x+y)!}{y!}}=\frac{x!\,y!}{(x+y)!}.
Repare que isso é exatamente o inverso do coeficiente binomial visto no Passo 2:
\frac{x!\,y!}{(x+y)!}=\frac{1}{\binom{x+y}{x}}.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar: se x=2 e y=1, então a probabilidade é \dfrac{1}{\binom{3}{2}}=\dfrac{1}{3}. Pelo produto: \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}.
Dica de prova/exame: use a contagem com o coeficiente binomial quando quiser raciocínio curto; use o produto de probabilidades se preferir visualizar passo a passo — os dois levam à mesma expressão. Força aí — dá para decorar essa ideia simples e aplicar rápido na prova!

Resposta

\dfrac{x!\,y!}{(x+y)!}=\dfrac{1}{\binom{x+y}{x}}

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