A urna A contém x bolas vermelhas e y bolas brancas, e a urna B contém z bolas vermelhas e v bolas brancas. Se uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B e então uma bola retirada da urna B, qual é a probabilidade da segunda bola ser vermelha? R: (x v+y v+y)(x+y)(z+v+1)

Passo 1

O enunciado fala de uma urna A com x bolas vermelhas e y brancas, e uma urna B com z bolas vermelhas e v brancas. A gente retira uma bola da urna A, transfere para B, e depois tira uma bola da urna B. O conteúdo é Probabilidade Condicional e Regra da Probabilidade Total.

Passo 2

Definimos os eventos: R₁ = “primeira bola (de A) é vermelha” e R₂ = “segunda bola (de B) é vermelha”. Pela Regra da Probabilidade Total:
P(R₂) = P(R₁),P(R₂mid R₁) + P(R₁^c),P(R₂mid R₁^c)

Passo 3

A probabilidade de retirar uma vermelha da urna A é P(R₁)=xx+y, e de retirar branca é P(R₁^c)=yx+y.
Se a bola transferida for vermelha, a urna B passa a ter z+1 vermelhas e v brancas, logo
$$P(R₂\mid R₁)=\frac{z+1}{z+v+1}.
$$

Passo 4

Se a bola transferida for branca, a urna B fica com z vermelhas e v+1 brancas, então
$$P(R₂\mid R₁^c)=\frac{z}{z+v+1}.
$$

Passo 5

Substituindo na Probabilidade Total:
P(R₂)=xx+ycdotz+1z+v+1 + yx+ycdotzz+v+1

Passo 6

Colocando sobre o mesmo denominador (x+y)(z+v+1)) e somando numeradores:
P(R₂)=x(z+1)+y z(x+y)(z+v+1) = z(x+y)+x(x+y)(z+v+1)

Resposta

P(segunda bola vermelha) = z(x+y)+x(x+y)(z+v+1)

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