A urna A contém x bolas vermelhas e y bolas brancas, e a urna B contém z bolas vermelhas e v bolas brancas. Se uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B e então uma bola retirada da urna B, qual é a probabilidade da segunda bola ser vermelha?
Passo 1
O enunciado fala de uma urna A com x bolas vermelhas e y brancas, e uma urna B com z bolas vermelhas e v brancas. A gente retira uma bola da urna A, transfere para B, e depois tira uma bola da urna B. O conteúdo é Probabilidade Condicional e Regra da Probabilidade Total.
Passo 2
Definimos os eventos: R₁ = “primeira bola (de A) é vermelha” e R₂ = “segunda bola (de B) é vermelha”. Pela Regra da Probabilidade Total:
Passo 3
A probabilidade de retirar uma vermelha da urna A é
, e de retirar branca é
.
Se a bola transferida for vermelha, a urna B passa a ter vermelhas e
brancas, logo
Se a bola transferida for vermelha, a urna B passa a ter
$$P(R₂\mid R₁)=\frac{z+1}{z+v+1}.
$$
Passo 4
Se a bola transferida for branca, a urna B fica com
vermelhas e
brancas, então
$$P(R₂\mid R₁^c)=\frac{z}{z+v+1}.
$$
Passo 5
Substituindo na Probabilidade Total:
Passo 6
Colocando sobre o mesmo denominador
e somando numeradores: