A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é \frac{3}{4}, de B é \frac{1}{6} e de C é \frac{1}{10}. A probabilidade de o indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é \frac{1}{20}; de B comprar da marca D é \frac{3}{5} e de C é \frac{3}{10}. Em certa loja, comprou-se um carro da marca D. Qual é a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá (sem resolver ainda) e apontar uma pequena inconsistência que precisamos tratar.
  • Probabilidades fornecidas (peguei esses números do enunciado):
    • “A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é” \tfrac{3}{4}.
    • “de B é” \tfrac{1}{6}.
    • “de C é” \tfrac{1}{10}.
    • “A probabilidade de o indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é” \tfrac{1}{20}.
    • “de B comprar da marca D é” \tfrac{3}{5}.
    • “de C é” \tfrac{3}{10}.
  • O que o enunciado pede: dado que um carro da marca D foi comprado na loja, qual é a probabilidade de que o comprador seja da classe B? Em símbolos, quer-se P(B \mid D).
  • Observação importante (inconsistência): as três probabilidades iniciais \tfrac{3}{4},\\ \tfrac{1}{6},\\ \tfrac{1}{10} somam
    \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{10} = \tfrac{61}{60} > 1,
    portanto não formam uma distribuição de probabilidades diretamente. Para prosseguir de modo consistente (e porque o problema pede uma aplicação direta de Bayes), vou assumir que esses três números são proporcionais às chances de um indivíduo pertencer às classes A,B,C. Em outras palavras, vou normalizá-los para obter priors de classe que somem 1. Essa é uma maneira natural de interpretar dados que vêm como “proporções relativas” quando há um pequeno erro de soma no enunciado.

Passo 2

Definir eventos e recordar as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha de Bayes).
  • Eventos:
    • A: indivíduo pertence à classe A.
    • B: indivíduo pertence à classe B.
    • C: indivíduo pertence à classe C.
    • D: o indivíduo comprou um carro da marca D.
  • Relembrando duas fórmulas fundamentais:
    1. Regra do produto (probabilidade conjunta): P(X\\ \text{e}\\ Y) = P(X)\,P(Y\mid X).Aqui P(Y\mid X) é a probabilidade de Y dado que X ocorreu.
    2. Teorema de Bayes (para obter probabilidades a posteriori): P(B\mid D)=\frac{P(B)\,P(D\mid B)}{P(D)},em que P(D) é obtida pela Lei da Probabilidade Total: P(D)=P(A)\,P(D\mid A)+P(B)\,P(D\mid B)+P\text{(C)}\,P(D\mid C).
  • Aqui cada P(D\mid \text{classe}) é o número dado no enunciado (probabilidade de comprar marca D condicional à classe).

Passo 3

Normalizar as “probabilidades” iniciais das classes para torná‑las priors válidos (soma 1).
  • Soma dos três números dados: S=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{61}{60}.
  • Priors normalizados (dividindo cada um por S): P(A)=\frac{\tfrac{3}{4}}{S}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{61}{60}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{60}{61}=\frac{45}{61},
P(B)=\frac{\tfrac{1}{6}}{S}=\frac{1}{6}\cdot\frac{60}{61}=\frac{10}{61},
P\text{(C)}=\frac{\tfrac{1}{10}}{S}=\frac{1}{10}\cdot\frac{60}{61}=\frac{6}{61}.
  • Conferir que somam 1: \frac{45}{61}+\frac{10}{61}+\frac{6}{61}=\frac{61}{61}=1.

Passo 4

Pegar os condicionais P(D\mid \text{classe}) que o enunciado deu e calcular as probabilidades conjuntas P(\text{classe} \\ \text{e}\\ D) (usando a regra do produto).
  • Dados do enunciado (peguei estes números do enunciado):
    P(D\mid A)=\tfrac{1}{20},\qquad P(D\mid B)=\tfrac{3}{5},\qquad P(D\mid C)=\tfrac{3}{10}.
  • Probabilidades conjuntas:
    P(A\\ \text{e}\\ D)=P(A)\,P(D\mid A)=\frac{45}{61}\cdot\frac{1}{20}=\frac{45}{1220}=\frac{9}{244}.
P(B\\ \text{e}\\ D)=P(B)\,P(D\mid B)=\frac{10}{61}\cdot\frac{3}{5}=\frac{30}{305}=\frac{6}{61}.
P(C\\ \text{e}\\ D)=P\text{(C)}\,P(D\mid C)=\frac{6}{61}\cdot\frac{3}{10}=\frac{18}{610}=\frac{9}{305}.

Passo 5

Calcular P(D) pela soma das probabilidades conjuntas (lei da probabilidade total).
  • Somando os termos (colocando em denominador comum 1220): P(D)=\frac{9}{244}+\frac{6}{61}+\frac{9}{305} =\frac{45}{1220}+\frac{120}{1220}+\frac{36}{1220} =\frac{201}{1220}.

Passo 6

Aplicar Bayes para obter P(B\mid D) e simplificar o resultado.
  • Usando P(B\mid D)=\frac{P(B)\,P(D\mid B)}{P(D)}=\frac{\dfrac{6}{61}}{\dfrac{201}{1220}}(notei que P(B)\,P(D\mid B)=\dfrac{6}{61} do Passo 4).
  • Fazer a divisão: P(B\mid D)=\frac{6}{61}\cdot\frac{1220}{201}=\frac{6\cdot 1220}{61\cdot 201}.
  • Simplificar: 1220/61=20, portanto P(B\mid D)=\frac{6\cdot 20}{201}=\frac{120}{201}=\frac{40}{67}.
  • Em decimal aproximado isso dá cerca de 0{,}5970 (ou 59{,}70\%), mas a forma exata é \tfrac{40}{67}.

Resposta

\dfrac{40}{67}

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