A probabilidade de um indivíduo de classe
comprar um carro é
, de
é
e de
é
. A probabilidade de o indivíduo de classe
comprar um carro da marca
é
; de
comprar da marca
é
e de
é
. Em certa loja, comprou-se um carro da marca D. Qual é a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá (sem resolver ainda) e apontar uma pequena inconsistência que precisamos tratar.
-
Probabilidades fornecidas (peguei esses números do enunciado):
- “A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é”
. - “de B é”
. - “de C é”
. - “A probabilidade de o indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é”
. - “de B comprar da marca D é”
. - “de C é”
.
- “A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é”
-
O que o enunciado pede: dado que um carro da marca
foi comprado na loja, qual é a probabilidade de que o comprador seja da classe ? Em símbolos, quer-se . -
Observação importante (inconsistência): as três probabilidades iniciais
somam portanto não formam uma distribuição de probabilidades diretamente. Para prosseguir de modo consistente (e porque o problema pede uma aplicação direta de Bayes), vou assumir que esses três números são proporcionais às chances de um indivíduo pertencer às classes. Em outras palavras, vou normalizá-los para obter priors de classe que somem . Essa é uma maneira natural de interpretar dados que vêm como “proporções relativas” quando há um pequeno erro de soma no enunciado.
Passo 2
Definir eventos e recordar as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha de Bayes).
-
Eventos:
-
: indivíduo pertence à classe . -
: indivíduo pertence à classe . -
: indivíduo pertence à classe . -
: o indivíduo comprou um carro da marca .
-
-
Relembrando duas fórmulas fundamentais:
- Regra do produto (probabilidade conjunta):
Aqui é a probabilidade de dado que ocorreu. - Teorema de Bayes (para obter probabilidades a posteriori):
em que é obtida pela Lei da Probabilidade Total:
- Regra do produto (probabilidade conjunta):
-
Aqui cada
é o número dado no enunciado (probabilidade de comprar marca condicional à classe).
Passo 3
Normalizar as “probabilidades” iniciais das classes para torná‑las priors válidos (soma
).
- Soma dos três números dados:
- Priors normalizados (dividindo cada um por
):
- Conferir que somam
:
Passo 4
Pegar os condicionais
que o enunciado deu e calcular as probabilidades conjuntas
(usando a regra do produto).
-
Dados do enunciado (peguei estes números do enunciado):
-
Probabilidades conjuntas:
Passo 5
Calcular
pela soma das probabilidades conjuntas (lei da probabilidade total).
- Somando os termos (colocando em denominador comum
):
Passo 6
Aplicar Bayes para obter
e simplificar o resultado.
- Usando
(notei que do Passo 4). - Fazer a divisão:
- Simplificar:
, portanto - Em decimal aproximado isso dá cerca de
(ou ), mas a forma exata é .