Em uma urna contendo 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis, deseja-se retirar uma amostra de 5 bolas sem reposição. Considerando a distribuição hipergeométrica, qual das alternativas abaixo melhor representa a natureza da variável aleatória X nesse contexto?
1-Cor das bolas na amostra selecionada.
2-Identificação única de cada bola na urna.
3-Média aritmética do número de bolas vermelhas na amostra.
4-Probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na amostra.
5-Número total de bolas na urna.

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão: temos uma urna com 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Queremos tirar uma amostra de 5 bolas sem reposição. A pergunta é sobre a distribuição hipergeométrica e qual das alternativas representa melhor a natureza da variável aleatória $ X $ nesse contexto.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é distribuição hipergeométrica e como ela se aplica a esse problema. Vamo lá!

Passo 2

Primeiro, o que é distribuição hipergeométrica? Ela é usada para modelar situações onde temos uma população finita dividida em dois grupos (por exemplo, bolas vermelhas e azuis) e queremos saber a probabilidade de obter um certo número de elementos de um dos grupos em uma amostra sem reposição.
No nosso caso, a população é de 30 bolas, divididas em 10 vermelhas e 20 azuis. A amostra é de 5 bolas.

Passo 3

A variável aleatória $ X $ na distribuição hipergeométrica representa o número de “sucessos” na amostra. Aqui, vamos considerar “sucesso” como tirar uma bola vermelha. Então, $ X $ é o número de bolas vermelhas na amostra de 5 bolas retiradas.

Passo 4

Agora, vamos analisar as alternativas:
  1. Cor das bolas na amostra selecionada.
    • Isso descreve as cores das bolas, mas não quantifica o número de bolas vermelhas.
  2. Identificação única de cada bola na urna.
    • Isso fala sobre identificar as bolas individualmente, o que não está relacionado com a variável $ X $.
  3. Média aritmética do número de bolas vermelhas na amostra.
    • Aqui, parece que estamos falando do número de bolas vermelhas na amostra, mas usando a expressão “média aritmética”. Pode ser uma tradução confusa, mas a ideia é próxima.
  4. Probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na amostra.
    • Isso fala sobre a probabilidade individual, não sobre o número total de bolas vermelhas na amostra.
  5. Número total de bolas na urna.
    • Isso é apenas uma característica da população, não da variável $ X $.

Passo 5

A alternativa que mais se aproxima de representar a natureza da variável $ X $ é a opção 3, mesmo que a expressão “média aritmética” possa ser um pouco confusa. Aqui, entendemos que $ X $ é o número de bolas vermelhas na amostra.

Resposta

A opção 3: Média aritmética do número de bolas vermelhas na amostra é a que melhor representa a natureza da variável aleatória $ X $ nesse contexto.

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