Determine os ângulos diretores do vetor v = (1, -1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os ângulos diretores do vetor v = (1, -1, 0). Isso faz parte da matéria de Vetores e Geometria Analítica. Para resolver, a gente vai usar os conceitos de magnitude do vetor e cosenos dos ângulos diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude do vetor v. A magnitude é como o “tamanho” do vetor e é calculada usando a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
No nosso caso, v = (1, -1, 0), então:
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os cosenos dos ângulos diretores. Os ângulos diretores são os ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos coordenados (x, y, z). A gente usa a seguinte fórmula para cada eixo:
cos(thetax) = vx|v|
cos(thetay) = vy|v|
cos(thetaz) = vz|v|

Passo 4

Vamos calcular cada um desses cossenos:
Para o eixo x:
cos(thetax) = 1raiz2
thetax = arccos(1raiz2) approx 45^circ
Para o eixo y:
cos(thetay) = -1raiz2
thetay = arccos(-1raiz2) approx 135^circ
Para o eixo z:
cos(thetaz) = 0raiz2 = 0
thetaz = arccos(0) = 90^circ

Resposta

Os ângulos diretores do vetor v = (1, -1, 0) são aproximadamente:
thetax = 45^circ, thetay = 135^circ, thetaz = 90^circ

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