De uma urna contendo dez bolas brancas e 40 pretas são feitas seis extrações com reposição. Qual o total esperado de brancas e pretas? Qual é o desvio padrão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 10 bolas brancas e 40 bolas pretas (50 no total) e que extraímos 6 vezes com reposição. Isso significa que em cada extração as probabilidades não mudam.
Conteúdo: distribuição binomial (porque cada extração é um “sucesso” ou “fracasso” independente).
O que vamos usar:
  • A probabilidade de tirar branca E[X]=n,p e, de preta, Var(X)=n,p,(1-p).
  • Fórmula da esperança (valor esperado) para Binomial:
  • Fórmula da variância para Binomial:
  • Desvio padrão .
A partir do próximo passo, a gente já começa a calcular.

Passo 2

Calcular o total esperado (esperança) para brancas e pretas.
  1. Para brancas, chama o número de brancas em 6 extrações de E[W] = n , prm B = 6 times 0,2 = 1,2 . Aqui E[P] = n , prm P = 6 times 0,8 = 4,8 e . Ou seja, em média esperamos 1,2 bolas brancas.
  2. Para pretas, seja o número de pretas. Temos . Então, em média esperamos 4,8 bolas pretas.

Passo 3

Agora vamos ao desvio padrão, que mede a “dispersão” em torno da média. Primeiro a variância:
  1. Para brancas Var(W) = n,prm B,(1 - prm B) = 6 times 0,2 times 0,8 = 6 times 0,16 = 0,96 : sigma(W) = raiz0,96 approx 0,98 Então Var(P) = n,prm P,(1 - prm P) = 6 times 0,8 times 0,2 = 0,96
  2. Para pretas sigma(P) = raiz0,96 approx 0,98 : e

Resposta

Esperança:
  • Brancas:
  • Pretas:
Desvio padrão:
  • Brancas:
  • Pretas:

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