De uma urna contendo dez bolas brancas e 40 pretas são feitas seis extrações com reposição. Qual o total esperado de brancas e pretas? Qual é o desvio padrão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 10 bolas brancas e 40 bolas pretas (50 no total) e que extraímos 6 vezes com reposição. Isso significa que em cada extração as probabilidades não mudam.
Conteúdo: distribuição binomial (porque cada extração é um “sucesso” ou “fracasso” independente).
O que vamos usar:
Conteúdo: distribuição binomial (porque cada extração é um “sucesso” ou “fracasso” independente).
O que vamos usar:
- A probabilidade de tirar branca
e, de preta, . - Fórmula da esperança (valor esperado) para Binomial:
- Fórmula da variância para Binomial:
- Desvio padrão
.
A partir do próximo passo, a gente já começa a calcular.
Passo 2
Calcular o total esperado (esperança) para brancas e pretas.
- Para brancas, chama o número de brancas em 6 extrações de
. Aqui e . Ou seja, em média esperamos 1,2 bolas brancas. - Para pretas, seja
o número de pretas. Temos . Então, em média esperamos 4,8 bolas pretas.
Passo 3
Agora vamos ao desvio padrão, que mede a “dispersão” em torno da média. Primeiro a variância:
- Para brancas
: Então - Para pretas
: e
Resposta
Esperança:
- Brancas:
- Pretas:
Desvio padrão:
- Brancas:
- Pretas: