Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 20. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola:
com número múltiplo de 4 .
com número múltiplo de 4 .
Passo 1
O enunciado diz que há uma urna com bolas numeradas de
a
e que qualquer bola tem a mesma chance de ser retirada. A pergunta é: determinar a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja múltiplo de
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Universo de resultados: todos os números inteiros de
a . - Todos os resultados são igualmente prováveis.
- Evento de interesse: número retirado é múltiplo de
.
Passo 2
Definição básica que vamos usar: quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Aqui o número total de resultados é simplesmente a quantidade de bolas na urna, isto é,
. Vou agora explicar como contar os resultados favoráveis (os múltiplos de
) passo a passo.
Passo 3
O que é "múltiplo de
"? Um número
é múltiplo de
se existe um inteiro
tal que
. Exemplos fora do problema:
é múltiplo de
porque
;
não é múltiplo de
porque não existe inteiro
com
.
Passo 4
Contagem direta dos múltiplos de
entre
e
: escrevendo os múltiplos de
crescentes temos
.
Contando-os vemos que há números favoráveis.
Contando-os vemos que há
Passo 5
Método rápido (fórmula) para contar múltiplos: o número de múltiplos de um inteiro
no conjunto
é
, ou seja, a parte inteira de
. Aqui
e
, então
confirmando que há
múltiplos de
entre
e
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da probabilidade com os números que encontramos:
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
obtemos
Em forma decimal isso é
e em porcentagem
. Pequena verificação mental: entre
e
um a cada quatro números é múltiplo de
, então faz sentido ser
.