Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 20. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola:
com número par ou primo
com número par ou primo
Passo 1
O enunciado diz que há uma urna com bolas numeradas de
a
. Cada bola tem a mesma chance de ser retirada (escolha uniforme). A pergunta é: determinar a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par ou primo.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O espaço amostral tem
resultados igualmente prováveis: . - O evento pedido é a união dos eventos “número par” e “número primo”.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática de probabilidade em um experimento com resultados igualmente prováveis. Se o espaço amostral tem
resultados e o número de resultados favoráveis ao evento
é
, então
Aqui
. Nosso trabalho é contar quantos números entre
e
são pares ou primos (ou ambos).
Passo 3
Definição e contagem dos números pares. Um número é par se é divisível por
. Os números pares entre
e
são
Contando-os, temos
. (Raciocínio: há um par em cada dois inteiros, então metade de
é
.)
Passo 4
Definição e contagem dos números primos. Um número primo é um inteiro maior que
que tem exatamente dois divisores positivos:
e ele mesmo. Testando os inteiros até
(ou lembrando a lista), os primos são
Contando-os, temos
. (Observação rápida:
não é primo;
são compostos.)
Passo 5
Cuidado com dupla contagem: o número
é ao mesmo tempo par e primo, então pertence a
. Calculamos a interseção:
portanto
. Se somássemos
sem ajustar, contaríamos
duas vezes.
Passo 6
Usamos o princípio da inclusão-exclusão para obter o número de resultados favoráveis ao evento “par ou primo”:
Substituindo os valores:
Assim, há
números entre
e
que são pares ou primos.
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da probabilidade com
e
:
Convertendo para decimal e porcentagem:
, isto é
. Como checagem rápida, os três números que não são nem pares nem primos são
, que confirmam que
não favoráveis.