Sabe-se que 80 \% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores que não atuam no futebol brasileiro. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 30 \% se o cobrador for de fora do Brasil e de 60 \% caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador de fora do futebol brasileiro e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • A probabilidade de o cobrador ser de fora do futebol brasileiro é 80\%.
  • A probabilidade de um pênalti ser convertido se o cobrador for de fora do Brasil é 30\%.
  • A probabilidade de um pênalti ser convertido se o cobrador for do futebol brasileiro é 60\%.
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de o pênalti ser cobrado por um jogador de fora do futebol brasileiro e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido (independentemente de quem cobra)?

Passo 2

Definições e tradução para notação matemática (isso ajuda a aplicar fórmulas com clareza).
  • Definir o evento F = “o cobrador é de fora do futebol brasileiro”.
  • Definir o evento N = “o cobrador não é de fora (ou seja, atua no futebol brasileiro)”. Note que N é o complemento de F.
  • Definir o evento C = “o pênalti é convertido”.
Traduzindo as porcentagens em probabilidades (sempre escrevendo em TeX):
P(F)=0,8,\qquad P(N)=0,2,
P(C\mid F)=0,3,\qquad P(C\mid N)=0,6.
Explicação curta: P(C\mid F) significa “probabilidade de converter dado que o cobrador é de fora”; P(F) é a probabilidade de escolher um cobrador de fora.

Passo 3

Resolver (a): usar a regra do produto (probabilidade conjunta).
Regra usada: a probabilidade de ocorrerem os eventos F e C simultaneamente é
P(F\cap C)=P(F)\,P(C\mid F).
Interpretação: primeiro ocorre F (escolhe-se um cobrador de fora) com probabilidade P(F); dado isso, a chance de converter é P(C\mid F); multiplica-se.
Aplicando os números:
P(F\cap C)=0,8\cdot0,3=0,24.
Convertendo para porcentagem: 0,24=24\%.

Passo 4

Resolver (b): usar a lei da probabilidade total (partição por F e N).
Motivação: os casos “cobrador de fora” e “cobrador do país” formam uma partição completa do espaço (ou seja, ou é F ou é N), então a probabilidade de C é a soma das probabilidades de C ocorrendo em cada caso ponderada pela probabilidade de cada caso:
P\text{(C)}=P(F)\,P(C\mid F)+P(N)\,P(C\mid N).
Aplicando os números:
P\text{(C)}=0,8\cdot0,3+0,2\cdot0,6=0,24+0,12=0,36.
Convertendo para porcentagem: 0,36=36\%.

Passo 5

Verificação rápida e dica de prova: os resultados têm sentido — a maior parte dos cobradores é de fora (80%), mas esses convertem menos (30%), portanto a probabilidade total fica entre 30\% e 60\% e pende para o lado de 30\% por causa da maioria ser de fora. Em prova, desenhar um diagrama em árvore com dois ramos ( F e N) ajuda a memorizar a multiplicação e somas necessárias.

Resposta

P(\text{fora e convertido})=0,24=24\%
P(\text{convertido})=0,36=36\%

Exercícios relacionados