Sabe-se que
dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores que não atuam no futebol brasileiro. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de
se o cobrador for de fora do Brasil e de
caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador de fora do futebol brasileiro e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador de fora do futebol brasileiro e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
- A probabilidade de o cobrador ser de fora do futebol brasileiro é
. - A probabilidade de um pênalti ser convertido se o cobrador for de fora do Brasil é
. - A probabilidade de um pênalti ser convertido se o cobrador for do futebol brasileiro é
.
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de o pênalti ser cobrado por um jogador de fora do futebol brasileiro e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido (independentemente de quem cobra)?
a) Qual a probabilidade de o pênalti ser cobrado por um jogador de fora do futebol brasileiro e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido (independentemente de quem cobra)?
Passo 2
Definições e tradução para notação matemática (isso ajuda a aplicar fórmulas com clareza).
- Definir o evento
= “o cobrador é de fora do futebol brasileiro”. - Definir o evento
= “o cobrador não é de fora (ou seja, atua no futebol brasileiro)”. Note que é o complemento de . - Definir o evento
= “o pênalti é convertido”.
Traduzindo as porcentagens em probabilidades (sempre escrevendo em TeX):
Explicação curta:
significa “probabilidade de converter dado que o cobrador é de fora”;
é a probabilidade de escolher um cobrador de fora.
Passo 3
Resolver (a): usar a regra do produto (probabilidade conjunta).
Regra usada: a probabilidade de ocorrerem os eventos e
simultaneamente é
Regra usada: a probabilidade de ocorrerem os eventos
Interpretação: primeiro ocorre
(escolhe-se um cobrador de fora) com probabilidade
; dado isso, a chance de converter é
; multiplica-se.
Aplicando os números:
Convertendo para porcentagem:
.
Passo 4
Resolver (b): usar a lei da probabilidade total (partição por
e
).
Motivação: os casos “cobrador de fora” e “cobrador do país” formam uma partição completa do espaço (ou seja, ou é ou é
), então a probabilidade de
é a soma das probabilidades de
ocorrendo em cada caso ponderada pela probabilidade de cada caso:
Motivação: os casos “cobrador de fora” e “cobrador do país” formam uma partição completa do espaço (ou seja, ou é
Aplicando os números:
Convertendo para porcentagem:
.
Passo 5
Verificação rápida e dica de prova: os resultados têm sentido — a maior parte dos cobradores é de fora (80%), mas esses convertem menos (30%), portanto a probabilidade total fica entre
e
e pende para o lado de
por causa da maioria ser de fora. Em prova, desenhar um diagrama em árvore com dois ramos (
e
) ajuda a memorizar a multiplicação e somas necessárias.