A urna I contém 2 bolas brancas e 3 pretas ; a urna II, 4 brancas e 1 preta ; a urna III, 3 brancas e 4 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e extrai-se uma bola: é branca. Qual a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna ?
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados:
- Urna I:
bolas brancas e bolas pretas. Portanto a urna I tem bolas no total. - Urna II:
bolas brancas e bola preta. Portanto a urna II tem bolas no total. - Urna III:
bolas brancas e bolas pretas. Portanto a urna III tem bolas no total. - Escolhe-se uma urna ao acaso (cada urna com a mesma chance) e extrai-se uma bola; o resultado observado é: a bola é branca.
Pergunta:
- Qual a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna (Urna I), dado que a bola retirada é branca?
Passo 2
Calcular as probabilidades de tirar uma bola branca em cada urna (essas são as probabilidades condicionais
).
- Para a Urna I:
- Para a Urna II:
- Para a Urna III:
Passo 3
Como a escolha da urna é ao acaso entre as três, as probabilidades a priori de escolher cada urna são iguais:
Passo 4
Calcular a probabilidade total de tirar uma bola branca (lei da probabilidade total):
Substituindo os valores:
Calcular passo a passo:
Colocando em denominador comum:
Assim
Passo 5
Aplicar a fórmula de Bayes para obter a probabilidade pedida
:
Substituindo os valores já calculados:
Simplificando:
Como aproximação decimal: