A urna I contém 2 bolas brancas e 3 pretas ; a urna II, 4 brancas e 1 preta ; a urna III, 3 brancas e 4 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e extrai-se uma bola: é branca. Qual a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna ?

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados:
  • Urna I: 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Portanto a urna I tem 5 bolas no total.
  • Urna II: 4 bolas brancas e 1 bola preta. Portanto a urna II tem 5 bolas no total.
  • Urna III: 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Portanto a urna III tem 7 bolas no total.
  • Escolhe-se uma urna ao acaso (cada urna com a mesma chance) e extrai-se uma bola; o resultado observado é: a bola é branca.
Pergunta:
  • Qual a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna (Urna I), dado que a bola retirada é branca?

Passo 2

Calcular as probabilidades de tirar uma bola branca em cada urna (essas são as probabilidades condicionais P(\text{branca} \mid \text{Urna }i)).
  • Para a Urna I:
P(\text{branca}\mid\text{Urna I})=\dfrac{2}{5}.
  • Para a Urna II:
P(\text{branca}\mid\text{Urna II})=\dfrac{4}{5}.
  • Para a Urna III:
P(\text{branca}\mid\text{Urna III})=\dfrac{3}{7}.

Passo 3

Como a escolha da urna é ao acaso entre as três, as probabilidades a priori de escolher cada urna são iguais:
P(\text{Urna I})=P(\text{Urna II})=P(\text{Urna III})=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a probabilidade total de tirar uma bola branca (lei da probabilidade total):
P(\text{branca})=P(\text{Urna I})P(\text{branca}\mid\text{Urna I})+P(\text{Urna II})P(\text{branca}\mid\text{Urna II})+P(\text{Urna III})P(\text{branca}\mid\text{Urna III}).
Substituindo os valores:
P(\text{branca})=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{7}.
Calcular passo a passo:
\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{7}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{6}{5}+\dfrac{3}{7}\right).
Colocando em denominador comum:
\dfrac{6}{5}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{42}{35}+\dfrac{15}{35}=\dfrac{57}{35}.
Assim
P(\text{branca})=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{57}{35}=\dfrac{57}{105}=\dfrac{19}{35}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Bayes para obter a probabilidade pedida P(\text{Urna I}\mid\text{branca}):
P(\text{Urna I}\mid\text{branca})=\dfrac{P(\text{branca}\mid\text{Urna I})\,P(\text{Urna I})}{P(\text{branca})}.
Substituindo os valores já calculados:
P(\text{Urna I}\mid\text{branca})=\dfrac{\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}}{\dfrac{19}{35}}=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{\dfrac{19}{35}}=\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{35}{19}=\dfrac{70}{285}.
Simplificando:
\dfrac{70}{285}=\dfrac{14}{57}.
Como aproximação decimal:
\dfrac{14}{57}\approx0,2456.

Resposta

\dfrac{14}{57} \approx 0,2456

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