Uma caixa de 100 parafusos contém 5 defeituosos. Qual é a probabilidade de que dois parafusos selecionados ao acaso (sem reposição) da caixa sejam ambos bons?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
  • Há uma caixa com 100 parafusos.
  • Desses, 5 são defeituosos.
  • Logo, o número de parafusos bons é 100-5=95.
  • Selecionam-se dois parafusos ao acaso, sem reposição (ou seja, o primeiro retirado não volta para a caixa).
  • Pergunta: Qual é a probabilidade de que os dois parafusos selecionados sejam ambos bons?

Passo 2

Entendendo o que “sem reposição” implica e a regra que vamos usar.
  • “Sem reposição” significa que a segunda escolha ocorre num universo reduzido dependendo do resultado da primeira escolha. As probabilidades são dependentes.
  • Para eventos dependentes usamos a regra da probabilidade condicional:
\Pr(A\\ \text{e}\\ B)=\Pr(A)\cdot\Pr(B\mid A),
onde:
  • \Pr(A) é a probabilidade do primeiro evento ocorrer,
  • \Pr(B\mid A) é a probabilidade do segundo evento ocorrer dado que o primeiro já ocorreu.
Aqui definimos:
  • A: “o primeiro parafuso é bom”,
  • B: “o segundo parafuso é bom”.

Passo 3

Calcular \Pr(A), a probabilidade de o primeiro parafuso ser bom.
  • 95 parafusos bons entre 100 no total, então
\Pr(A)=\frac{95}{100}.
Podemos simplificar: \frac{95}{100}=\frac{19}{20}=0,95.

Passo 4

Calcular \Pr(B\mid A), a probabilidade do segundo ser bom dado que o primeiro foi bom.
  • Se o primeiro foi bom, sobram 95-1=94 parafusos bons e o total de parafusos passa a ser 100-1=99.
  • Logo
\Pr(B\mid A)=\frac{94}{99}.

Passo 5

Aplicar a regra da probabilidade condicional para obter a probabilidade conjunta:
\Pr(A\\ \text{e}\\ B)=\frac{95}{100}\cdot\frac{94}{99}.
Fazendo a multiplicação e simplificação:
\Pr(A\\ \text{e}\\ B)=\frac{95\cdot94}{100\cdot99}=\frac{8930}{9900}=\frac{893}{990}.
Aproximação decimal e porcentagem:
\frac{893}{990}\approx0,9020202\ldots \approx 0,9020\quad\text{ou}\quad 90,20\%.

Passo 6

Método alternativo (combinatório) — para reforçar a ideia e mostrar equivalência:
  • Número de maneiras de escolher 2 parafusos bons: \binom{95}{2}.
  • Número de maneiras de escolher 2 parafusos quaisquer: \binom{100}{2}.
  • Assim a probabilidade é
\frac{\binom{95}{2}}{\binom{100}{2}} =\frac{\dfrac{95\cdot94}{2}}{\dfrac{100\cdot99}{2}} =\frac{95\cdot94}{100\cdot99},
que é exatamente a mesma expressão obtida antes, confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{893}{990}\approx0,9020\approx90,20\%

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