Uma caixa de 100 parafusos contém 5 defeituosos. Qual é a probabilidade de que dois parafusos selecionados ao acaso (sem reposição) da caixa sejam ambos bons?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
- Há uma caixa com
parafusos. - Desses,
são defeituosos. - Logo, o número de parafusos bons é
. - Selecionam-se dois parafusos ao acaso, sem reposição (ou seja, o primeiro retirado não volta para a caixa).
- Pergunta: Qual é a probabilidade de que os dois parafusos selecionados sejam ambos bons?
Passo 2
Entendendo o que “sem reposição” implica e a regra que vamos usar.
- “Sem reposição” significa que a segunda escolha ocorre num universo reduzido dependendo do resultado da primeira escolha. As probabilidades são dependentes.
- Para eventos dependentes usamos a regra da probabilidade condicional:
onde:
-
é a probabilidade do primeiro evento ocorrer, -
é a probabilidade do segundo evento ocorrer dado que o primeiro já ocorreu.
Aqui definimos:
-
: “o primeiro parafuso é bom”, -
: “o segundo parafuso é bom”.
Passo 3
Calcular
, a probabilidade de o primeiro parafuso ser bom.
- Há
parafusos bons entre no total, então
Podemos simplificar:
.
Passo 4
Calcular
, a probabilidade do segundo ser bom dado que o primeiro foi bom.
- Se o primeiro foi bom, sobram
parafusos bons e o total de parafusos passa a ser . - Logo
Passo 5
Aplicar a regra da probabilidade condicional para obter a probabilidade conjunta:
Fazendo a multiplicação e simplificação:
Aproximação decimal e porcentagem:
Passo 6
Método alternativo (combinatório) — para reforçar a ideia e mostrar equivalência:
- Número de maneiras de escolher
parafusos bons: . - Número de maneiras de escolher
parafusos quaisquer: . - Assim a probabilidade é
que é exatamente a mesma expressão obtida antes, confirmando o resultado.