Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).

Passo 1

O enunciado diz: há uma urna com cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. São feitas duas retiradas sem reposição (ou seja, depois da primeira retirada a bola retirada não volta para a urna). A pergunta é: qual é a probabilidade de, na primeira retirada sair uma bola vermelha (V) e, na segunda retirada, sair uma bola branca (B)?\n\nInformações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n- Número de bolas vermelhas: \,5.\n- Número de bolas brancas: \,2.\n- Total inicial de bolas: \,5+2=7.\n- Retiradas: duas retiradas sequenciais, sem reposição.\n- Evento pedido: sequência (V então B).

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra do produto para probabilidades condicionais. Ela diz que a probabilidade de ocorrerem dois eventos em sequência A e depois B é\n P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B\mid A),\nonde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu. Aqui A é “sair V na primeira retirada” e B é “sair B na segunda retirada”. Esta fórmula é natural quando as retiradas são sequenciais e a segunda depende do que aconteceu na primeira (como ocorre sem reposição).

Passo 3

Calcular P(\text{primeira é }V)é. No começo há \,5 bolas vermelhas em um total de \,7 bolas, então\n P(\text{primeira é }V)=\frac{5}{7}.é\nExplicação curta: probabilidade de um evento equiprovável numa urna é número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis; aqui casos favoráveis = \,5, casos possíveis = \,7.

Passo 4

Calcular P(\text{segunda é }B \mid \text{primeira foi }V)é. Como a primeira retirada foi uma bola vermelha e não há reposição, após a primeira retirada restam \,7-1=6 bolas na urna, e as bolas brancas continuam sendo \,2 (nenhuma branca foi retirada na primeira). Portanto\n P(\text{segunda é }B \mid \text{primeira foi }V)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.é\nExplicação: condicionamos no fato de que foi retirada uma vermelha, então apenas o total diminui em 1 (para 6), e o número de brancas permanece 2.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter a probabilidade da sequência V então B:\n P(V\\ \text{então}\\ B)=P(\text{primeira }V)\cdot P(\text{segunda }B\mid \text{primeira }V)=\frac{5}{7}\cdot\frac{2}{6}.ã\nAgora multiplicamos e simplificamos passo a passo:\n \frac{5}{7}\cdot\frac{2}{6}=\frac{10}{42}.\nSimplificando o numerador e o denominador por 2:\n \frac{10}{42}=\frac{5}{21}.

Passo 6

(Método alternativo por contagem para reforçar a ideia) Podemos contar resultados ordenados: para a primeira retirada há \,7 possibilidades e, depois de retirar uma bola, para a segunda há \,6 possibilidades, então o número total de pares ordenados de retiradas é \,7\cdot6=42. O número de formas de obter primeiro uma vermelha (escolha entre \,5) e depois uma branca (escolha entre \,2) é \,5\cdot2=10. Assim a probabilidade é \,10/42=\;5/21, mesmo resultado que obtivemos com a regra do produto.

Passo 7

Converter para decimal (aproximação) se você quiser ver o valor numérico:\n \frac{5}{21}\approx 0,238095\ldots\nEu sei que é estressante estudar em cima da hora, mas você já fez o mais importante aqui: entendeu a ideia de probabilidades condicionais e a regra do produto — isso resolve muita questão de urna. Força que dá tempo de praticar mais algumas iguais e ganhar certeza!

Resposta

\displaystyle \frac{5}{21}\n \approx 0,238095

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