6^{\circ} - Determine a probabilidade de cada evento:
Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que “pelo menos uma cara apareça” no lançamento de 3 moedas. Informações relevantes que temos (ou assumimos porque é o caso padrão): cada moeda é justa (probabilidade de cara ou coroa igual) e os lançamentos são independentes. Logo, para cada lançamento vale P(\text{cara})=P(\text{coroa})=\frac{1}{2}. O evento que queremos é: E=\{\text{pelo menos uma cara em }3\text{ lançamentos}\}ç.

Passo 2

Vamos primeiro contar o total de resultados possíveis (espaço amostral). Cada moeda tem 2 resultados possíveis e são 3 moedas independentes, então o número total de resultados é
2^{3}.
Calculando,
2^{3}=8.
Isso significa que existem 8 sequências possíveis (por exemplo: HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT, onde H representa cara e T coroa).

Passo 3

Vou usar a regra do complemento porque é o caminho mais curto e seguro em provas: para qualquer evento E,
P(E)=1-P(E^{c}),
onde E^{c} é o evento complementar (ou seja, "não ocorre E"). Aqui E = “pelo menos uma cara” e E^{c} = “nenhuma cara”, que equivale a “todas coroa” (ou seja, TTT).

Passo 4

Calculemos P(E^{c}), a probabilidade de todas as 3 moedas darem coroa. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade do conjunto é o produto das probabilidades individuais:
P(\text{TTT})=\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}.
Agora calcule:
\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}.

Passo 5

Aplicando a regra do complemento:
P(\text{pelo menos uma cara})=1-P(\text{nenhuma cara})=1-\frac{1}{8}.
Fazendo a subtração,
1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.
Em forma decimal (usando vírgula conforme padrão brasileiro):
\frac{7}{8}=0,875.

Passo 6

Verificação por contagem direta (chega ao mesmo resultado): dos 8 resultados possíveis listados no Passo 2, apenas TTT não tem nenhuma cara; portanto há 7 resultados favoráveis. Pela definição clássica de probabilidade (casos favoráveis / casos totais),
P=\frac{7}{8},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Dica prática para a prova (motivação rápida): para n moedas justas, a probabilidade de “pelo menos uma cara” é sempre
P=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
No nosso caso n=\!3 dá exatamente o resultado acima. Isso evita listar casos e é muito rápido.

Resposta

\dfrac{7}{8}=0,875

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