Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.

Passo 1

O enunciado diz: uma urna tem cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Fazem-se duas retiradas com reposição da primeira bola (ou seja, após a primeira retirada a bola é colocada de volta, e a composição da urna volta ao original). A pergunta é: qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha na primeira retirada e, em seguida, uma bola branca na segunda retirada?
Informações dadas:
  • Número de bolas vermelhas: \,5.
  • Número de bolas brancas: \,2.
  • Total de bolas na urna: \,5+2=7.
  • Duas retiradas no total, com reposição após a primeira.
  • Evento pedido: primeira retirada = vermelha; segunda retirada = branca.

Passo 2

Entendendo probabilidade de um único sorteio (fórmula clássica):
A probabilidade de um evento em um experimento clássico com resultados igualmente prováveis é
P(\text{evento})=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número total de resultados}}.úáú
Aplicando isso ao primeiro sorteio:
  • Favoráveis a “vermelha” na primeira retirada: \,5.
  • Total de possibilidades no primeiro sorteio: \,7.
    Logo,
P(\text{1ª é vermelha})=\frac{5}{7}.ªé
Expliquei: aqui cada bola é um resultado igualmente provável, então contar quantos são vermelhos e dividir pelo total dá a probabilidade.

Passo 3

E a probabilidade da segunda retirada ser branca?
Como houve reposição, após a primeira retirada a bola foi colocada de volta, então a urna volta a ter exatamente \,5 vermelhas e \,2 brancas, total \,7. Isso significa que a segunda retirada tem as mesmas probabilidades que a primeira — os eventos são independentes (explico abaixo). Portanto,
P(\text{2ª é branca}\mid \text{reposição})=\frac{2}{7}.ªéçã
Breve explicação do termo técnico (em linguagem simples): uma probabilidade condicional P(B\mid A) é “a chance de B acontecer sabendo que A aconteceu”. Quando há reposição, saber o que aconteceu no primeiro sorteio não muda a composição da urna, então P(\text{2ª é branca}\mid \text{1ª foi vermelha})=P(\text{2ª é branca})ªéªªé. Quando isso acontece dizemos que os eventos são independentes.

Passo 4

Regra do produto para eventos sequenciais:
A probabilidade de ocorrerem dois eventos em sequência (primeiro A e depois B) é
P(A \text{ e } B)=P(A)\cdot P(B\mid A).
No nosso caso, com reposição temos P(B\mid A)=P(B). Então
P(\text{1ª vermelha e 2ª branca})=P(\text{1ª vermelha})\cdot P(\text{2ª branca}).ªªªª
Substituindo os valores que calculamos:
P=\frac{5}{7}\cdot\frac{2}{7}.

Passo 5

Fazendo a multiplicação passo a passo (sem calculadora):
Multiplicamos numeradores e denominadores:
\frac{5}{7}\cdot\frac{2}{7}=\frac{5\cdot 2}{7\cdot 7}=\frac{10}{49}.
Não é possível simplificar mais porque 10 e 49 não têm fatores em comum além de 1.

Passo 6

Método alternativo (contagem de casos ordenados) — útil para ver a intuição:
  • Como há reposição, cada retirada tem \,7 possibilidades, então o número total de resultados ordenados para as duas retiradas é 7\times 7=49.
  • Os resultados favoráveis (primeiro vermelho, segundo branco) são \,5 escolhas vermelhas para a primeira vezes \,2 escolhas brancas para a segunda, total 5\times 2=10.
  • Probabilidade = \dfrac{10}{49}, que coincide com o cálculo anterior.

Passo 7

Resumo e dica para prova (meio motivador):
  • Resultado final: \dfrac{10}{49}.
  • Dica prática: identifique se há reposição — com reposição os eventos são independentes e basta multiplicar as probabilidades de cada sorteio; sem reposição teríamos que ajustar o número total no segundo sorteio.

Resposta

\dfrac{10}{49}

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