Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
Passo 1
O enunciado diz: uma urna tem cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Fazem-se duas retiradas com reposição da primeira bola (ou seja, após a primeira retirada a bola é colocada de volta, e a composição da urna volta ao original). A pergunta é: qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha na primeira retirada e, em seguida, uma bola branca na segunda retirada?
Informações dadas:
- Número de bolas vermelhas:
. - Número de bolas brancas:
. - Total de bolas na urna:
. - Duas retiradas no total, com reposição após a primeira.
- Evento pedido: primeira retirada = vermelha; segunda retirada = branca.
Passo 2
Entendendo probabilidade de um único sorteio (fórmula clássica):
A probabilidade de um evento em um experimento clássico com resultados igualmente prováveis é
A probabilidade de um evento em um experimento clássico com resultados igualmente prováveis é
Aplicando isso ao primeiro sorteio:
- Favoráveis a “vermelha” na primeira retirada:
. - Total de possibilidades no primeiro sorteio:
.
Logo,
Expliquei: aqui cada bola é um resultado igualmente provável, então contar quantos são vermelhos e dividir pelo total dá a probabilidade.
Passo 3
E a probabilidade da segunda retirada ser branca?
Como houve reposição, após a primeira retirada a bola foi colocada de volta, então a urna volta a ter exatamente vermelhas e
brancas, total
. Isso significa que a segunda retirada tem as mesmas probabilidades que a primeira — os eventos são independentes (explico abaixo). Portanto,
Como houve reposição, após a primeira retirada a bola foi colocada de volta, então a urna volta a ter exatamente
Breve explicação do termo técnico (em linguagem simples): uma probabilidade condicional
é “a chance de
acontecer sabendo que
aconteceu”. Quando há reposição, saber o que aconteceu no primeiro sorteio não muda a composição da urna, então
. Quando isso acontece dizemos que os eventos são independentes.
Passo 4
Regra do produto para eventos sequenciais:
A probabilidade de ocorrerem dois eventos em sequência (primeiro e depois
) é
A probabilidade de ocorrerem dois eventos em sequência (primeiro
No nosso caso, com reposição temos
. Então
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Fazendo a multiplicação passo a passo (sem calculadora):
Multiplicamos numeradores e denominadores:
Multiplicamos numeradores e denominadores:
Não é possível simplificar mais porque
e
não têm fatores em comum além de
.
Passo 6
Método alternativo (contagem de casos ordenados) — útil para ver a intuição:
- Como há reposição, cada retirada tem
possibilidades, então o número total de resultados ordenados para as duas retiradas é . - Os resultados favoráveis (primeiro vermelho, segundo branco) são
escolhas vermelhas para a primeira vezes escolhas brancas para a segunda, total . - Probabilidade
, que coincide com o cálculo anterior.
Passo 7
Resumo e dica para prova (meio motivador):
- Resultado final:
. - Dica prática: identifique se há reposição — com reposição os eventos são independentes e basta multiplicar as probabilidades de cada sorteio; sem reposição teríamos que ajustar o número total no segundo sorteio.