1.7 Quando se usa uma balança com pesos padrões, um corpo é equivalente à fọrça da gravidade de dois pesos padrões de 1 \mathrm{lb}(0,454 \mathrm{kgf}), num local onde g=31,5 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\left(9,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right). Quanto pesaria o corpo numa balarça de molas calibrada (ao nível do mar) nesse local?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas (vou listar exatamente o que temos):
  • Um corpo, numa balança de pratos com pesos padrões, fica equilibrado com dois pesos padrões de 1\\ \mathrm{lb} cada.
  • O enunciado indica que 1\\ \mathrm{lb}=0,454\\ \mathrm{kgf} (ou seja, a referência usada relaciona libra-força com kilogram-force).
  • A gravidade local é \,g_{\text{local}}=31,5\\ \mathrm{ft/s^{2}}=9,6\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • A balança de molas foi calibrada ao nível do mar (vamos usar o valor padrão da gravidade ao nível do mar) \,g_{0}=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
O que se pede:
  • Determinar quanto o corpo “pesaria” numa balança de molas calibrada ao nível do mar quando usada nesse local (ou seja, qual leitura a balança de molas vai apresentar quando colocada naquele lugar onde g_{\text{local}}=9{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 2

Entendendo as diferenças práticas entre os dois tipos de balança (a teoria que precisamos):
  • Balança de pratos (balança com pesos padrões): compara forças gravitacionais nos dois pratos; para equilíbrio vale
m_{\text{corpo}}\,g_{\text{local}}=2\,m_{\text{padrão}}\,g_{\text{local}}.ã
Como g_{\text{local}} aparece dos dois lados, ele cancela, ficando
m_{\text{corpo}}=2\,m_{\text{padrão}}.ã
Ou seja, a balança de pratos mede massa relativa: o corpo tem a mesma massa que dois pesos padrões de 1\\ \mathrm{lb} (independente do valor de g).
  • Balança de molas: mede a força (peso) e é então calibrada para mostrar uma “massa” supondo uma gravidade de referência g_{0}. Se a força real for F=m\,g_{\text{local}}, a balança, por estar calibrada para g_{0}, exibirá uma massa equivalente
M_{\text{lida}}=\frac{m\,g_{\text{local}}}{g_{0}}.
Essa é a fórmula que vamos usar.

Passo 3

Primeiro encontramos a massa do corpo a partir da balança de pratos:
  • Cada peso padrão é de 1\\ \mathrm{lb}. Em unidades de massa (quilograma), temos
1\\ \mathrm{lb}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg}\approx0{,}4536\\ \mathrm{kg}.
  • Assim a massa do corpo é
m_{\text{corpo}}=2\times 1\\ \mathrm{lb}=2\times 0{,}45359237\\ \mathrm{kg}=0{,}90718474\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da balança de molas (explicada no Passo 2): a leitura da balança calibrada para g_{0} será
M_{\text{lida}}=\frac{m_{\text{corpo}}\,g_{\text{local}}}{g_{0}}.
Substituímos os valores:
m_{\text{corpo}}=0{,}90718474\\ \mathrm{kg},\qquad g_{\text{local}}=9{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad g_{0}=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Cálculo numérico da leitura em quilogramas:
M_{\text{lida (kg)}}=\frac{0{,}90718474\times 9{,}6}{9{,}80665} \approx 0{,}8883\\ \mathrm{kg}.
(Expliquei acima cada termo: multiplicou-se a massa pelo g_{\text{local}} para obter a força real, depois dividiu-se por g_{0} para converter para a “massa” que a balança, calibrada ao nível do mar, mostraria.)

Passo 6

Se preferir a leitura em libras (já que os pesos padrões eram dados em \mathrm{lb}), podemos usar a relação direta: a leitura em libras será
M_{\text{lida (lb)}}=2\\ \mathrm{lb}\times\frac{g_{\text{local}}}{g_{0}} =2\times\frac{9{,}6}{9{,}80665}\approx 1{,}958\\ \mathrm{lb}.
Ou convertendo 0{,}8883\\ \mathrm{kg} para libras: 0{,}8883/0{,}45359237\approx1{,}958\\ \mathrm{lb} (mesmo resultado).

Passo 7

Interpretação final e observação prática: a balança de pratos disse que a massa é exatamente 2\\ \mathrm{lb} (isto é, 2 libras-de-massa), mas a balança de molas, por estar calibrada para a gravidade ao nível do mar, vai marcar um valor ligeiramente menor porque g_{\text{local}}<g_{0}. Isso é normal: balanças de pratos não dependem de g; balanças de molas sim.

Resposta

1{,}958\\ \mathrm{lb}
0{,}888\\ \mathrm{kg}

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