Usa-se uma centrífuga de vaso cilíndrico para separar a água de um óleo de peixe. A centrífuga tem um vaso de 4 in de diâmetro e 30 in de comprimento e gira a 15000 rpm, Na temperatura ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, a densidade do óleo de peixe é de 0,94 \mathrm{~g} / \{cm}^{3} e a viscosidade 50 cP . Os raios dos vertedores interno e externo são 1,246 \mathrm{in} e 1,250 \mathrm{in}, respectivamente.
Determinar o diâmetro crítico das gotículas de óleo suspenso na água, se a taxa de alimentação for de 300 \mathrm{gal} / \mathrm{h} de suspensão com 20% ponderais de óleo de peixe

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro crítico das gotículas de óleo numa centrífuga tubular que separa óleo (densidade menor) em meio aquoso.
Conteúdo: sedimentação por força centrífuga (lei de Stokes adaptada). Vamos precisar de: tempo de residência do líquido na centrífuga, velocidade radial de migração de uma gotícula sob aceleração centrífuga e condição de que a gotícula percorra a folga entre os vertedores interno e externo durante esse tempo.

Passo 2

Calculamos o tempo de residência t da suspensão na centrífuga como
V = \pi\,\frac{D^2}{4}\,L,
com D=4\\ \mathrm{in}=0{,}1016\\ \mathrm m e L=30\\ \mathrm{in}=0{,}762\\ \mathrm m.
V = \pi\,\frac{(0{,}1016)^2}{4}\,(0{,}762)\approx0{,}00619\\ \mathrm m^3.
A vazão volumétrica é
Q = 300\\ \mathrm{gal/h} = 300\,(3,785\times10^{-3})\\ {\mathrm m^3\!/h} \approx1,1355\\ {\mathrm m^3\!/h}=0{,}0003153\\ {\mathrm m^3\!/s}.
Logo
t = \frac{V}{Q} = \frac{0{,}00619}{0{,}0003153}\approx19{,}64\\ \mathrm s.

Passo 3

Pela lei de Stokes em campo centrífugo, o equilíbrio gotícula arrasto dá
3\pi\,\mu\,d\,u_r \;=\;\frac{\pi\,d^3}{6}\,\Delta\rho\,\omega^2\,r \quad\Longrightarrow\quad u_r = \frac{d^2\,\Delta\rho\,\omega^2\,r}{18\,\mu},
onde
\Delta\rho = \rho_{\mathrm{água}}-\rho_{\mathrm{óleo}}=(1000-940)\,\mathrm{kg/m^3}=60\,\mathrm{kg/m^3},áó
\omega=15000\\ \mathrm{rpm}=15000/60\cdot2\pi\approx1570{,}8\\ \mathrm{rad/s},
r\approx\frac{r_i+r_o}{2} com r_i=1{,}246\\ \mathrm{in}=0{,}03164\\ \mathrm m e r_o=1{,}250\\ \mathrm{in}=0{,}03175\\ \mathrm m, logo r\approx0{,}03170\\ \mathrm m,
e \mu da água a 25^\circ\mathrm C é 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

A condição de separação é que a gotícula cubra a folga radial
\Delta r = r_o - r_i=0{,}03175-0{,}03164=0{,}00011\\ \mathrm m em tempo t:
\Delta r = u_r\,t \quad\Longrightarrow\quad d^2 = \frac{18\,\mu\,\Delta r}{\Delta\rho\,\omega^2\,r\,t}.

Passo 5

Substituindo
d^2 = \frac{18\,(1,0\times10^{-3})\,(1,016\times10^{-4})} {60\,(1570{,}8)^2\,(0,03170)\,(19,64)} \approx1,99\times10^{-14}\\ \mathrm{m^2},
logo
d = \sqrt{1,99\times10^{-14}}\approx1,41\times10^{-7}\\ \mathrm m =0{,}14\\ \mu\mathrm m.

Resposta

O diâmetro crítico das gotículas de óleo é aproximadamente
\boxed{1{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm m\quad(0{,}14\\ \mu\mathrm m).}

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