Geral: Qual o tamanho mínimo de partículas de sílica que caem numa torre vertical onde sobe ar a 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C} com velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro mínimo de partículas esféricas de sílica ( \rho_p\approx2650\rm\\ kg/m^3) que, ao sofrerem a força de gravidade, têm velocidade terminal igual à velocidade do ar que sobe ( v_t=2\rm\\ m/s) numa torre vertical em condições de \,1\rm\\ atm e 25^\circ C. Vamos modelar o equilíbrio entre peso aparente e arrasto para encontrar esse diâmetro.

Passo 2

Para uma partícula esférica de diâmetro \,d, o balanço de forças no estado estacionário é
\frac{\pi}{6}d^3(\rho_p-\rho_a)\,g = \frac12\,C_D\,\rho_a\,\frac{\pi d^2}{4}\,v_t^2
onde \rho_a\approx1{,}184\rm\\ kg/m^3 é a densidade do ar, g=9{,}81\rm\\ m/s^2 e C_D é o coeficiente de arrasto dependente do número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho_a\,v_t\,d}{\mu},\quad \mu\approx1{,}85\times10^{-5}\rm\\ Pa\cdot s.

Passo 3

Inicialmente usamos a lei de Stokes ( \mathrm{Re}\ll1), que dá
v_t=\frac{(\rho_p-\rho_a)\,g\,d^2}{18\,\mu}.
Igualando a 2\rm\\ m/s e isolando d:
d^2=\frac{18\,\mu\,v_t}{(\rho_p-\rho_a)\,g} \quad\Longrightarrow\quad d\approx1{,}60\times10^{-4}\rm\\ m\;(160\\ \mu m).

Passo 4

Porém, com esse valor \mathrm{Re}\approx20, o regime não é estritamente de Stokes. Usamos então a correlação empírica para C_D em esferas
C_D=\frac{24}{\mathrm{Re}}\Bigl(1+0.15\,\mathrm{Re}^{0.687}\Bigr).
Reescrevendo o balanço
v_t =\sqrt{\frac{8(\rho_p-\rho_a)\,g\,d}{3\,\rho_a\,C_D(d)}}
e lembrando \mathrm{Re}= \rho_a\,v_t\,d/\mu, resolvemos por iteração.

Passo 5

  1. Começamos com d_0=1{,}60\times10^{-4}\rm\\ m, calculamos
    \mathrm{Re}_0, C_{D0} e obtemos v_{t1}\approx1{,}8\rm\\ m/s, abaixo de 2.
  2. Ajustamos d para igualar v_t=2\rm\\ m/s, recalculamos \mathrm{Re} e C_D.
  3. Numa segunda iteração surge d\approx1{,}70\times10^{-4}\rm\\ m \;\;\bigl(170\\ \mu m\bigr),para o qual v_t\approx2\rm\\ m/s e \mathrm{Re}\approx22.

Resposta

O diâmetro mínimo das partículas de sílica é aproximadamente
d\approx1{,}70\times10^{-4}\rm\\ m\;(0{,}17\\ mm).

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