Usando-se os algarismos 0,2,3,4,5 e 6 , existem x números de 4 algarismos, de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. O valor de x é:
a) 1080
b) 960
c) 840
d) 780
e) 300

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números de 4 algarismos, formados com os dígitos \{0,2,3,4,5,6\}, têm pelo menos dois dígitos iguais. O conteúdo é de contagem e usaremos o princípio do complemento (total menos casos de todos os dígitos distintos).

Passo 2

Vamos primeiro contar todos os números de 4 algarismos possíveis sem restrição de repetição. Como o primeiro algarismo não pode ser zero, temos:
5
opções para o primeiro algarismo ( 2,3,4,5,6) e
6
opções para cada um dos 3 algarismos seguintes (podem incluir o zero). Logo,
\text{Total} = 5 \times 6^3 = 5 \times 216 = 1080.

Passo 3

Agora contamos quantos desses números têm todos os dígitos distintos. Para isso:
– Primeiro algarismo: \,5 opções ( 2,3,4,5,6).
– Segundo algarismo: das 5 restantes (incluindo o zero, se ainda não usado).
– Terceiro algarismo: das 4 restantes.
– Quarto algarismo: das 3 restantes.
Logo,
\text{Distintos} = 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300.

Passo 4

Pelo princípio do complemento, o número de casos com pelo menos dois dígitos iguais é
x = \text{Total} - \text{Distintos} = 1080 - 300 = 780.

Resposta

780

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