Usando a álgebra Booleana, simplifique cada expressão a seguir:
(a) B D+B(D+E)+\bar{D}(D+F)
(b) \bar{A} \bar{B} C+\overline{(A+B+\bar{C})}+\bar{A} \bar{B} \bar{C} D
(c) (B+B C)(B+\bar{B} C)(B+D)
(d) A B C D+A B(\overline{C D})+(\overline{A B}) C D
(e) A B C[A B+\bar{C}(B C+A C)]

Passo 1

O enunciado pede para simplificar cinco expressões em álgebra Booleana usando as leis de idempotência, absorção, distributividade e De Morgan. Vamos aplicar essas propriedades, uma expressão de cada vez.

Passo 2

Para (a) B D + B(D+E) + \bar D(D+F), note que
B D + B(D+E) = B D + B D + B E = B D + B E = B(D+E),
e
\bar D(D+F) = \bar D\,D + \bar D\,F = 0 + \bar D\,F = \bar D\,F.
Logo a expressão vira
B(D+E) + \bar D\,F.

Passo 3

Para (b) \bar A\bar B\,C + \overline{(A+B+\bar C)} + \bar A\bar B\bar C\,D, aplicamos De Morgan em \overline{(A+B+\bar C)}:
\overline{(A+B+\bar C)} = \bar A\,\bar B\,C.
Assim fica
\bar A\bar B\,C + \bar A\bar B\,C + \bar A\bar B\bar C\,D = \bar A\bar B\bigl(C + \bar C\,D\bigr).
E C + \bar C\,D = C + D, então o resultado é
\bar A\bar B\,(C+D).

Passo 4

Para (c) (B+B\,C)(B+\bar B\,C)(B+D), usamos:
B + B\,C = B,
B + \bar B\,C = B + C,
portanto a expressão vira
B\,(B+C)\,(B+D).
Mas B\,(B+X) = B, logo tudo se reduz a
B.

Passo 5

Para (d) A B C D + A B(\overline{C D}) + (\overline{A B}) C D, escrevemos \overline{C D}=\bar C + \bar D e expandimos:
A B C D + A B(\bar C + \bar D) + (\bar A+\bar B)\,C D = A B\,C D + A B\bar C + A B\bar D + (\bar A+\bar B)C D.
Agrupando A B temos
A B\bigl(C D + \bar C + \bar D\bigr) + (\bar A+\bar B)C D.
E \bar C+\bar D+C D=1, então isso vira
A B + (\bar A+\bar B)C D.
Finalmente X + \bar X\,Y = X + Y com X=AB e Y=CD
A B + C D.

Passo 6

Para (e) A B C\bigl[A B + \bar C\,(B C + A C)\bigr], note que
\bar C\,(B C + A C)=\bar C\,C\,(B+A)=0,
então o colchete é só A B. Logo
A B C\cdot A B = A B C.

Resposta

(a) B(D+E)+\bar D\,F
(b) \bar A\bar B\,(C+D)
(c) B
(d) A B + C D
(e) A B C

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