Usando a álgebra Booleana, simplifique as seguintes expressões:
(a) (A+\bar{B})(A+C)
(b) \bar{A} B+\bar{A} B \bar{C}+\bar{A} B C D+\bar{A} B \bar{C} \bar{D} E
(c) A B+\overline{A B} C+A
(d) (A+\bar{A})(A B+A B \bar{C})
(e) A B+(\bar{A}+\bar{B}) C+A B

Passo 1

Temos cinco expressões booleanas para simplificar usando identidades como distributiva, absorção, complementar e o teorema do consenso. Vamos aplicar passo a passo essas regras em cada item.

Passo 2

Para (A+\bar{B})(A+C), usamos distributiva:
(A+\bar{B})(A+C)=A\cdot A + A\cdot C + \bar{B}\cdot A + \bar{B}\cdot C.
Como A\cdot A=A e \bar{B}\cdot A=A\cdot\bar{B} está absorvido por A, ficamos com
A + \bar{B}C.

Passo 3

Na soma \bar{A}B + \bar{A}B\bar{C} + \bar{A}BCD + \bar{A}B\bar{C}\bar{D}E, fatoramos \bar{A}B:
\bar{A}B\bigl(1 + \bar{C} + C D + \bar{C}\bar{D}E\bigr).
Como 1 + X = 1, o resultado é
\bar{A}B.

Passo 4

Em AB + \overline{AB}C + A, primeiro usamos que A + AB = A:
AB + \overline{AB}C + A = A + \overline{AB}C.
Como \overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}, temos
A + (\bar{A} + \bar{B})C = A + \bar{A}C + \bar{B}C = (A + \bar{A}C) + \bar{B}C = (A + C) + \bar{B}C = A + C.

Passo 5

No produto (A+\bar{A})(AB+AB\bar{C}), observamos que A+\bar{A}=1 e em AB+AB\bar{C} fatoramos AB:
AB + AB\bar{C} = AB\,(1 + \bar{C}) = AB.
Logo o resultado é
1 \cdot AB = AB.

Passo 6

Para AB + (\bar{A}+\bar{B})C + AB, somamos AB+AB=AB e expandimos:
AB + (\bar{A}+\bar{B})C = AB + \bar{A}C + \bar{B}C = AB + C(\bar{A} + \bar{B}).

Resposta

(a) A + \bar{B}C
(b) \bar{A}B
(c) A + C
(d) AB
(e) AB + (\bar{A} + \bar{B})C

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