Usando técnicas da álgebra Booleana, simplifique as seguintes expressões tanto quanto possível:
(a) A(A+B)
(b) A(\bar{A}+A B)
(c) B C+\bar{B} C
(d) A(A+\overline{A B})
(e) A \bar{B} C+\bar{A} B C+\bar{A} \bar{B} C

Passo 1

O enunciado pede para simplificar expressões booleanas usando as leis básicas da álgebra de Boole:
  • identidade ( X\cdot1=X, X+0=X),
  • nulidade ( X\cdot0=0, X+1=1),
  • complemento ( X\cdot\bar X=0, X+\bar X=1),
  • absorção ( X\,(X+Y)=X, X+X\,Y=X),
  • distributiva ( X\,Y+X\,Z=X\,(Y+Z), X+Y\,Z=(X+Y)(X+Z)),
  • De Morgan ( \overline{X\,Y}=\bar X+\bar Y, \overline{X+Y}=\bar X\,\bar Y).

Passo 2

Para (a) usamos a lei de absorção X\,(X+Y)=X.
Substituindo X=A e Y=B, temos
A\,(A+B)=A.

Passo 3

Para (b) analisamos a soma interna e depois o produto:
\bar A + A\,B \;=\;(\bar A + A)\,(\bar A + B) \;=\;1\cdot(\bar A + B) \;=\;\bar A + B.
Multiplicando por A:
A\,(\bar A + A\,B)=A\,(\bar A + B) =A\,\bar A + A\,B =0 + A\,B =A\,B.

Passo 4

Para (c) fatoramos C:
B\,C + \bar B\,C = (B+\bar B)\,C = 1\cdot C = C.

Passo 5

Para (d) usamos De Morgan em \overline{A\,B} e depois absorção:
\overline{A\,B} = \bar A + \bar B,
A + \overline{A\,B} = A + (\bar A + \bar B) = (A+\bar A) + \bar B =1 + \bar B =1,
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A\,\bigl(A+\overline{A\,B}\bigr)=A\cdot1=A.

Passo 6

Para (e) fatoramos C e simplificamos a soma interna:
A\,\bar B\,C + \bar A\,B\,C + \bar A\,\bar B\,C = C\,(A\,\bar B + \bar A\,B + \bar A\,\bar B).
No parêntese, note que
\bar A\,B + \bar A\,\bar B = \bar A\,(B+\bar B) = \bar A\cdot1 = \bar A,
então passa a ser
A\,\bar B + \bar A = (\bar A + A)\,(\bar A + \bar B) =1\cdot(\bar A + \bar B) =\bar A + \bar B.
Logo o resultado final é
(\bar A + \bar B)\,C.

Resposta

(a) A
(b) A\,B
(c) C
(d) A
(e) (\bar A + \bar B)\,C

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