2- A mesma reação do exercício anterior está sendo conduzida nos mesmos dois reatores em série. Um engenheiro recém-formado sugere que a velocidade da reação poderia ser aumentada por um fator de 2^{10} através do aumento da temperatura de 400^{\circ} \mathrm{C} para 500^{\circ} \mathrm{C}, argumentando que a velocidade da reação dobra para cada aumento de 10^{\circ} \mathrm{C} na temperatura. Uma engenheira entra na discussão e contesta o engenheiro com considerações contidas do Capítulo 3, relativas a essa regra prática aproximada. Ela argumenta que a regra só é válida para uma energia de ativação específica e dentro de uma faixa de temperatura específica. Ela então sugere que o aumento proposto da temperatura seja implementado, enfatizando, porém, que apenas uma elevação da velocidade da reação da ordem de 2^{3} ou 2^{4} seria esperada. O que você acha? Quem está correto?

Passo 1

O enunciado discute a aplicação da “regra prática” de que a velocidade da reação dobra a cada aumento de 10\circC, para um salto de 400\circC a 500\circC (diferença de 100\circC \Rightarrow fator 2^{10}). A teoria subjacente é a cinética de Arrhenius, onde
k = A \exp\Bigl(-\frac{E_{\rm a}}{R\,T}\Bigr)
e o fator de aumento entre duas temperaturas T_1 e T_2 vem de
\frac{k_2}{k_1} =\exp\Bigl[-\frac{E_{\rm a}}{R}\Bigl(\frac1{T_2}-\frac1{T_1}\Bigr)\Bigr].

Passo 2

Convertendo as temperaturas dadas para Kelvin:
T_1 = 400\,^\circ\mathrm C + 273{,}15 = 673{,}15\\ \mathrm K,\quad T_2 = 500\,^\circ\mathrm C + 273{,}15 = 773{,}15\\ \mathrm K.

Passo 3

O fator de aumento genérico é
\frac{k_2}{k_1} =\exp\!\biggl[\frac{E_{\rm a}}{R}\Bigl(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\Bigr)\biggr]
com R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 4

Para uma energia de ativação típica de E_{\rm a}=100\\ \mathrm{kJ/mol}:
\frac{k_2}{k_1} =\exp\!\Bigl[\frac{100\,000}{8{,}314}\bigl(\tfrac1{673{,}15}-\tfrac1{773{,}15}\bigr)\Bigr] \approx \exp(2{,}31)\approx 10.
Logo, k aumenta cerca de um fator 10\approx2^{3{,}3}, muito abaixo de 2^{10}.

Passo 5

Variações razoáveis de E_{\rm a} (digamos de 80 a 120 kJ/mol) levam a
\frac{k_2}{k_1}\sim 6\text{ a }16,
ou seja, entre 2^{2{,}5} e 2^4. Isso confirma a estimativa da engenheira de um aumento na ordem de 2^3 a 2^4.

Passo 6

A “regra do dobro a cada 10\circC” é válida apenas para faixas de temperatura e valores de E_{\rm a} próximos daqueles em que foi empiricamente ajustada (tipicamente reações de Ea~ 50 kJ/mol e perto de temperatura ambiente). Ao extrapolar de 400\circC a 500\circC sem ajustar E_{\rm a}, o engenheiro júnior erra ao prever 2^{10}. A engenheira está correta ao esperar apenas um aumento de cerca de 8 a 16 vezes.

Resposta

A engenheira tem razão: o aumento de temperatura de 400\circC a 500\circC só eleva a velocidade da reação em torno de 2^3 a 2^4, e não em 2^{10}.

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