Usando algum critério de convergência estude a convergência da série
sumn=0^infty 3^n n!n^n

Passo 1

A questão pede para estudar a convergência da série sumn=0^infty 3^n n!n^n. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries numéricas. Como o termo de índice n=0 vale 3^0·0!/0^0=1 (assumindo 0^0=1), ele não afeta a convergência no infinito. Vamos focar no comportamento para n>=1 usando o teste da razão.

Passo 2

Definimos an = 3^n n!n^n para n>=1 e aplicamos o teste da razão, calculando an+1an:
an+1an = 3^n+1(n+1)!/(n+1)^n+13^n n!/n^n =3;(n+1),n^n(n+1)^n+1 =3;gl(nn+1gr)^n

Passo 3

Para tomar o limite, usamos a identidade limntoinfty(1+1/n)^n = e. Então
limntoinftyan+1an =3;limntoinftyl(1+tfrac1nr)^-n =3,e^-1 =3eapprox1,103>1

Passo 4

Como no teste da razão uma razão limite L>1 implica divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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