- Considere a série
, sendo que:
Determine se a série
converge ou diverge.
22. Mostre que, para qualquer valor de
, temos:
- Para
, determine se a série
converge ou diverge. Justifique!
- Seja
uma sequência infinita tal que
. Mostre que
.
- Se
, mostre que
- Verifique se são convergentes:
(a)
22. Mostre que, para qualquer valor de
(a)
Passo 1
Neste conjunto de exercícios vamos aplicar vários testes de convergência de série (teste da razão, geométrica, alternante, telescópica e termo geral) e manipulações algébricas de somas.
Passo 2
Para o item 21 note que a sequência $a_n)\ é definida recursivamente por \(a_1=1)\ e \(a_{n+1} = \(\frac{1+\arctan n}{n}$ a_n\. Calculamos a razão entre termos consecutivos: $$
\lim_{n\to\infty}\bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigr|
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\arctan n}{n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{\pi}{2}}{n}
=0.
$$
\lim_{n\to\infty}\bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigr|
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\arctan n}{n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{\pi}{2}}{n}
=0.
$$
Como esse limite é menor que 1, pelo teste da razão a série $\sum a_n$ converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 3
No item 22 temos a série $$
\sin x - \tfrac12\sin^2 x + \tfrac14\sin^3 x - \tfrac18\sin^4 x + \cdots = \sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{2n}\sin{n+1}x.
$$
\sin x - \tfrac12\sin^2 x + \tfrac14\sin^3 x - \tfrac18\sin^4 x + \cdots = \sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{2n}\sin{n+1}x.
$$
Isto é uma série geométrica em $n$ de primeiro termo $b_0=\sin x$ e razão $-\frac{\sin x}{2}$. Como $|-\sin x/2|<1$ para todo $x$, a soma vale $$
\frac{b_0}{1 - (-\sin x/2)}
=\frac{\sin x}{1 + \sin x/2}
=\frac{2\sin x}{2+\sin x}.
$$
\frac{b_0}{1 - (-\sin x/2)}
=\frac{\sin x}{1 + \sin x/2}
=\frac{2\sin x}{2+\sin x}.
$$
Passo 4
No item 23 temos $(-1)n\frac{\sin(1/nk)}{n}$ com $k>1$. Para n grande, $\sin(1/n^k)\sim 1/n^k$, então o termo geral é da ordem $(-1)n/n{k+1}$. Como $k+1>1$, a p-série $\sum 1/n^{k+1}$ converge, logo a série original converge absolutamente.
Passo 5
No item 24 considere a soma parcial $$
S_N = \sum_{n=1}^N (a_n - a_{n+1})
= (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \cdots + (a_N - a_{N+1})
= a_1 - a_{N+1}.
$$
S_N = \sum_{n=1}^N (a_n - a_{n+1})
= (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \cdots + (a_N - a_{N+1})
= a_1 - a_{N+1}.
$$
Como $a_{N+1}\to L$ quando $N\to\infty$, temos $
Passo 6
No item 25 seja $S=\sum_{n=1}^\infty a_n$. Então $$
\sum_{n=1}^N(a_n + a_{n+1})
= (a_1+ a_2) + (a_2+ a_3) + \cdots + (a_N+a_{N+1})
= 2\sum_{n=1}^N a_n - a_1 + a_{N+1}.
$$
\sum_{n=1}^N(a_n + a_{n+1})
= (a_1+ a_2) + (a_2+ a_3) + \cdots + (a_N+a_{N+1})
= 2\sum_{n=1}^N a_n - a_1 + a_{N+1}.
$$
Fazendo $N\to\infty$ e usando $\sum_{n=1}^\infty a_n = S$, fica $
Passo 7
No item 26(a) o termo geral é $1/\sqrt[n]{n}=n^{-1/n}$. Como $$
\lim_{n\to\infty}n^{-1/n}
=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{\ln n}{n}}
=e^0=1\neq0,
$$
\lim_{n\to\infty}n^{-1/n}
=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{\ln n}{n}}
=e^0=1\neq0,
$$
o teste do termo geral diz que a série diverge.
Resposta
- Converge. 22)
23) Converge (absolutamente). 24) 25) 26(a) Diverge.