1. Considere a série sumn=1^+infty an, sendo que:
a1=1 e an+1=(1+arctan nn) cdot an
Determine se a série sumn=1^+infty an converge ou diverge.
22. Mostre que, para qualquer valor de x, temos:
sen x-12 sen^2 x+14 sen^3 x-18 sen^4 x+cdots+(-1)^n 12^n sen^n+1 x+cdots=2 sen x2+sen x
  1. Para k>1, determine se a série sumn=1^+infty(-1)^n sen(1n^k)n converge ou diverge. Justifique!
  2. Seja (an) uma sequência infinita tal que lim n +infty an=L. Mostre que sumn=1^+infty(an-an+1)=a1-L.
  3. Se sumn=1^+infty an=S neq 0, mostre que
sumn=1^+infty(an+an+1)=2 S-a1
  1. Verifique se são convergentes:
    (a) sumn=1^+infty 1raiz[n]n

Passo 1

Neste conjunto de exercícios vamos aplicar vários testes de convergência de série (teste da razão, geométrica, alternante, telescópica e termo geral) e manipulações algébricas de somas.

Passo 2

Para o item 21 note que a sequência $a_n)\ é definida recursivamente por \(a_1=1)\ e \(a_{n+1} = \(\frac{1+\arctan n}{n}$ a_n\. Calculamos a razão entre termos consecutivos: $$
\lim_{n\to\infty}\bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigr|
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\arctan n}{n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{\pi}{2}}{n}
=0.
$$
Como esse limite é menor que 1, pelo teste da razão a série $\sum a_n$ converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

No item 22 temos a série $$
\sin x - \tfrac12\sin^2 x + \tfrac14\sin^3 x - \tfrac18\sin^4 x + \cdots = \sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{2n}\sin{n+1}x.
$$
Isto é uma série geométrica em $n$ de primeiro termo $b_0=\sin x$ e razão $-\frac{\sin x}{2}$. Como $|-\sin x/2|<1$ para todo $x$, a soma vale $$
\frac{b_0}{1 - (-\sin x/2)}
=\frac{\sin x}{1 + \sin x/2}
=\frac{2\sin x}{2+\sin x}.
$$

Passo 4

No item 23 temos $(-1)n\frac{\sin(1/nk)}{n}$ com $k>1$. Para n grande, $\sin(1/n^k)\sim 1/n^k$, então o termo geral é da ordem $(-1)n/n{k+1}$. Como $k+1>1$, a p-série $\sum 1/n^{k+1}$ converge, logo a série original converge absolutamente.

Passo 5

No item 24 considere a soma parcial $$
S_N = \sum_{n=1}^N (a_n - a_{n+1})
= (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \cdots + (a_N - a_{N+1})
= a_1 - a_{N+1}.
$$
Como $a_{N+1}\to L$ quando $N\to\infty$, temos $ SN = sumn=1^N (an - an+1) = (a1 - a2) + (a2 - a3) + cdots + (aN - aN+1) = a1 - aN+1

Passo 6

No item 25 seja $S=\sum_{n=1}^\infty a_n$. Então $$
\sum_{n=1}^N(a_n + a_{n+1})
= (a_1+ a_2) + (a_2+ a_3) + \cdots + (a_N+a_{N+1})
= 2\sum_{n=1}^N a_n - a_1 + a_{N+1}.
$$
Fazendo $N\to\infty$ e usando $\sum_{n=1}^\infty a_n = S$, fica $ S=sumn=1^infty an

Passo 7

No item 26(a) o termo geral é $1/\sqrt[n]{n}=n^{-1/n}$. Como $$
\lim_{n\to\infty}n^{-1/n}
=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{\ln n}{n}}
=e^0=1\neq0,
$$
o teste do termo geral diz que a série diverge.

Resposta

  1. Converge. 22) 23) Converge (absolutamente). 24) 25) 26(a) Diverge.

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