Usando apenas propriedades dos determinantes mostre que det(A)=det(B). As matrizes são
A=[ll a & c+2 a b & a^prime+2 b ], B=[ll a & c b & d ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz B , usando apenas propriedades dos determinantes. Estamos trabalhando com matrizes 2 times 2 , então vamos precisar lembrar das propriedades básicas dos determinantes e da fórmula para determinante de matrizes 2 times 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 2 times 2 . Para uma matriz geral
M = m11 & m12 m21 & m22 ,
o determinante é dado por
det(M) = m11 cdot m22 - m12 cdot m21

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para calcular o determinante da matriz A :
A = a & c + 2a b & a' + 2b
Aplicando a fórmula do determinante:
det(A) = a cdot (a' + 2b) - (c + 2a) cdot b

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
det(A) = a cdot a' + a cdot 2b - c cdot b - 2a cdot b
Observamos que a cdot 2b e -2a cdot b se cancelam:
det(A) = a cdot a' - c cdot b

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B :
B = a & c b & d
Aplicando a fórmula do determinante:
det(B) = a cdot d - c cdot b

Passo 6

Para que det(A) = det(B) , as expressões que obtivemos devem ser iguais:
a cdot a' - c cdot b = a cdot d - c cdot b
Perceba que -c cdot b está presente em ambos os lados, então podemos igualar os termos restantes:
a cdot a' = a cdot d

Passo 7

Dividindo ambos os lados por a (assumindo que a neq 0 ):
a' = d

Resposta

Portanto, se a' = d , então det(A) = det(B) .

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