Encontre o determinante, posto e nulidade dâ matrizes:
A=[cccc 2 & 1 & 3 & 4 3 & 2 & 4 & 5 2 & 2 & 1 & 0 -2 & 1 & 3 & 1 ], B=[cccc 1 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 0 & -2 -1 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & 1 & 1 ], C=[ccc 1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -6 & -1 & -17 ]
Nota: Ao calcular o determinatte use as operações elementares e o método de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o determinante, o posto e a nulidade das matrizes A , B e C . Para isso, vamos usar operações elementares e o método de Laplace para calcular os determinantes. Além disso, vamos entender o que são posto e nulidade e como determiná-los. Se liga que vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a Matriz A. Primeiro, precisamos encontrar o determinante dela. A matriz A é:
A = 2 & 1 & 3 & 4 3 & 2 & 4 & 5 2 & 2 & 1 & 0 -2 & 1 & 3 & 1
Para calcular o determinante usando operações elementares, nosso objetivo é simplificar a matriz até ela ficar triangular (com zeros abaixo ou acima da diagonal principal), já que o determinante de uma matriz triangular é apenas o produto dos elementos da diagonal.
Passo 2.1: Vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento (2).
  • Linha2 = Linha2 - (3/2)*Linha1
  • Linha3 = Linha3 - (2/2)*Linha1 = Linha3 - Linha1
  • Linha4 = Linha4 - (-2/2)*Linha1 = Linha4 + Linha1
Após essas operações, a matriz fica:
2 & 1 & 3 & 4 0 & 0.5 & -0.5 & -1 0 & 1 & -2 & -4 0 & 2 & 6 & 9
Passo 2.2: Agora, vamos usar a segunda linha para zerar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
  • Linha3 = Linha3 - (1 / 0.5)Linha2 = Linha3 - 2Linha2
  • Linha4 = Linha4 - (2 / 0.5)Linha2 = Linha4 - 4Linha2
Após essas operações, a matriz fica:
2 & 1 & 3 & 4 0 & 0.5 & -0.5 & -1 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 8 & 13
Passo 2.3: Por fim, vamos usar a terceira linha para zerar o elemento abaixo dela na terceira coluna.
  • Linha4 = Linha4 - (-8)Linha3 = Linha4 + 8Linha3
A matriz triangular fica:
2 & 1 & 3 & 4 0 & 0.5 & -0.5 & -1 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 0 & -3
Passo 2.4: Agora, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 2 times 0.5 times (-1) times (-3) = 2 times 0.5 = 1 1 times (-1) = -1 -1 times (-3) = 3
Então, det(A) = 3.

Passo 3

Agora vamos encontrar o posto da matriz A. O posto é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Já que conseguimos reduzir a matriz A para uma matriz triangular com todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero, significa que todas as linhas são linearmente independentes. Como A é uma matriz 4 times 4 , o posto de A é 4.

Passo 4

Por fim, a nulidade de uma matriz é dada por:
Nulidade = Número de Colunas - Posto ú
Para a matriz A :
Nulidade = 4 - 4 = 0

Passo 5

Vamos para a Matriz B. Primeiro, o determinante. A matriz B é:
B = 1 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 0 & -2 -1 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & 1 & 1
Vamos usar o método de Laplace para calcular o determinante. A gente pode expandir pela primeira linha para facilitar.
det(B) = 1 cdot det 3 & 0 & -2 1 & 2 & 2 2 & 1 & 1 - 1 cdot det 2 & 0 & -2 -1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 + 2 cdot det 2 & 3 & -2 -1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 - (-1) cdot det 2 & 3 & 0 -1 & 1 & 2 1 & 2 & 1
Vamos calcular cada um desses menores:
  1. det 3 & 0 & -2 1 & 2 & 2 2 & 1 & 1 = 3 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 1) - 0 + (-2) cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 2) = 3 cdot 0 + 0 + (-2) cdot (-3) = 6
  2. det 2 & 0 & -2 -1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 = 2 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 1) - 0 + (-2) cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot 1) = 2 cdot 0 + 0 + (-2) cdot (-3) = 6
  3. det 2 & 3 & -2 -1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 = 2 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 2) - 3 cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot 1) + (-2) cdot (-1 cdot 2 - 1 cdot 1) = 2 cdot (-3) - 3 cdot (-3) + (-2) cdot (-3) = -6 + 9 + 6 = 9
  4. det 2 & 3 & 0 -1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 = 2 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 2) - 3 cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot 1) + 0 = 2 cdot (-3) - 3 cdot (-3) + 0 = -6 + 9 = 3
Agora substituindo:
det(B) = 1 cdot 6 - 1 cdot 6 + 2 cdot 9 - (-1) cdot 3 = 6 - 6 + 18 + 3 = 21

Passo 6

Agora, vamos achar o posto da matriz B. Para isso, podemos reduzir a matriz a forma escalonada usando operações elementares.
Passo 6.1: Vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
  • Linha2 = Linha2 - 2*Linha1
  • Linha3 = Linha3 + Linha1
  • Linha4 = Linha4 - Linha1
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & -1 0 & 1 & -4 & 0 0 & 2 & 4 & 1 0 & 1 & -1 & 2
Passo 6.2: Agora, usamos a segunda linha para zerar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
  • Linha3 = Linha3 - 2*Linha2
  • Linha4 = Linha4 - Linha2
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & -1 0 & 1 & -4 & 0 0 & 0 & 12 & 1 0 & 0 & 3 & 2
Passo 6.3: Por fim, usamos a terceira linha para zerar o elemento abaixo dela na terceira coluna.
  • Linha4 = Linha4 - (3/12)*Linha3 = Linha4 - (1/4)*Linha3
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & -1 0 & 1 & -4 & 0 0 & 0 & 12 & 1 0 & 0 & 0 & 74
Como todas as linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero, o posto de B é 4.

Passo 7

Agora, vamos calcular a nulidade da matriz B:
Nulidade = Número de Colunas - Posto = 4 - 4 = 0 ú

Passo 8

Vamos para a Matriz C. Primeiro, o determinante. A matriz C é:
C = 1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -6 & -1 & -17
Vamos usar o método de Laplace, expandindo pela primeira linha.
det(C) = 1 cdot det -1 & 4 -1 & -17 - 0 cdot det 2 & 4 -6 & -17 + 3 cdot det 2 & -1 -6 & -1
Calculando os menores:
  1. det -1 & 4 -1 & -17 = (-1) cdot (-17) - 4 cdot (-1) = 17 + 4 = 21
  2. det 2 & -1 -6 & -1 = 2 cdot (-1) - (-1) cdot (-6) = -2 - 6 = -8
Substituindo:
det(C) = 1 cdot 21 - 0 + 3 cdot (-8) = 21 - 24 = -3

Passo 9

Agora, vamos achar o posto da matriz C. Vamos reduzir a matriz a forma escalonada.
Passo 9.1: Usamos a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
  • Linha2 = Linha2 - 2*Linha1
  • Linha3 = Linha3 + 6*Linha1
A matriz fica:
1 & 0 & 3 0 & -1 & -2 0 & -1 & 1
Passo 9.2: Agora, usamos a segunda linha para zerar o elemento abaixo dela na segunda coluna.
  • Linha3 = Linha3 - Linha2
A matriz fica:
1 & 0 & 3 0 & -1 & -2 0 & 0 & 3
Como todas as linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero, o posto de C é 3.

Passo 10

Por fim, a nulidade da matriz C:
Nulidade = Número de Colunas - Posto = 3 - 3 = 0 ú

Resposta

  • Matriz A:
    • Determinante: det(A) = 3
    • Posto: 4
    • Nulidade: 0
  • Matriz B:
    • Determinante: det(B) = 21
    • Posto: 4
    • Nulidade: 0
  • Matriz C:
    • Determinante: det(C) = -3
    • Posto: 3
    • Nulidade: 0

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