Encontrar os valores de para obtermos
a) simétrica
b) anti-simétrica
Nota: se for necessário, modifique algum elemento da matriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem uma matriz S com alguns elementos desconhecidos: a, b, c, l, k . A tarefa é encontrar os valores desses elementos para que a matriz seja:
a) Simétrica
b) Anti-simétrica
Pra isso, vamos usar os conceitos de matrizes simétricas e anti-simétricas. Uma matriz é:
  • Simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, S = S^T .
  • Anti-simétrica se for igual ao negativo da sua transposta, ou seja, S = -S^T .
Vamos resolver cada caso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tratar do caso a) S simétrica. Para ser simétrica, cada elemento Sij deve ser igual a Sji .
Vamos escrever a matriz S e sua transposta S^T :
S = c & a & 0 & -b -1 & 0 & k & 5 0 & l & 0 & -l a & 5 & 3 & c
S^T = c & -1 & 0 & a a & 0 & l & 5 0 & k & 0 & 3 -b & 5 & -l & c
Agora, igualamos S = S^T e obtemos as seguintes equações:
  1. S12 = S21 => a = -1
  2. S13 = S31 => 0 = 0 (já satisfaz)
  3. S14 = S41 => -b = a
  4. S23 = S32 => k = l
  5. S24 = S42 => 5 = 5 (já satisfaz)
  6. S34 = S43 => -l = 3

Passo 3

Agora, vamos resolver as equações obtidas:
  1. a = -1
  2. -b = a => -b = -1 => b = 1
  3. k = l
  4. -l = 3 => l = -3
  5. Como k = l , então k = -3
  6. O valor de c permanece livre, pois S11 = S11 e S44 = S44 já estão iguais.

Passo 4

Então, para a matriz S ser simétrica, os valores são:
  • a = -1
  • b = 1
  • l = -3
  • k = -3
  • c pode ser qualquer número real.

Passo 5

Agora, vamos para o caso b) S anti-simétrica. Para ser anti-simétrica, devemos ter S = -S^T .
Usando a mesma matriz S e sua transposta S^T :
Igualando S = -S^T , temos:
  1. S11 = -S11 => c = -c => c = 0
  2. S12 = -S21 => a = 1
  3. S13 = -S31 => 0 = 0 (já satisfaz)
  4. S14 = -S41 => -b = -a
  5. S22 = -S22 => 0 = -0 (já satisfaz)
  6. S23 = -S32 => k = -l
  7. S24 = -S42 => 5 = -5 => Contradição!
  8. S33 = -S33 => 0 = -0 (já satisfaz)
  9. S34 = -S43 => -l = -3 => l = 3

Passo 6

Vamos analisar as equações:
  1. c = 0
  2. a = 1
  3. -b = -a => b = a => b = 1
  4. k = -l
  5. l = 3
  6. Então, k = -3
No entanto, observamos que a equação S24 = -S42 resultou em 5 = -5 , o que é impossível. Isso significa que não existe uma matriz anti-simétrica que satisfaça todas as condições dadas.

Resposta

a) Para S ser simétrica:
  • a = -1
  • b = 1
  • l = -3
  • k = -3
  • c pode ser qualquer número real.
b) Não existem valores de a, b, c, l, k que tornem S anti-simétrica.

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