Encontrar os valores de para obtermos
a) simétrica
b) anti-simétrica
Nota: se for necessário, modifique algum elemento da matriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem uma matriz com alguns elementos desconhecidos: . A tarefa é encontrar os valores desses elementos para que a matriz seja:
a) Simétrica
b) Anti-simétrica
Pra isso, vamos usar os conceitos de matrizes simétricas e anti-simétricas. Uma matriz é:
Simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, .
Anti-simétrica se for igual ao negativo da sua transposta, ou seja, .
Vamos resolver cada caso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos tratar do caso a) simétrica. Para ser simétrica, cada elemento deve ser igual a .
Vamos escrever a matriz e sua transposta :
S^T = c & -1 & 0 & a a & 0 & l & 5 0 & k & 0 & 3 -b & 5 & -l & c
Agora, igualamos S = S^T e obtemos as seguintes equações:
S12 = S21 => a = -1
S13 = S31 => 0 = 0 (já satisfaz)
S14 = S41 => -b = a
S23 = S32 => k = l
S24 = S42 => 5 = 5 (já satisfaz)
S34 = S43 => -l = 3
Passo 3
Agora, vamos resolver as equações obtidas:
a = -1
-b = a => -b = -1 => b = 1
k = l
-l = 3 => l = -3
Como k = l , então k = -3
O valor de c permanece livre, pois S11 = S11 e S44 = S44 já estão iguais.
Passo 4
Então, para a matriz S ser simétrica, os valores são:
a = -1
b = 1
l = -3
k = -3
c pode ser qualquer número real.
Passo 5
Agora, vamos para o caso b) S anti-simétrica. Para ser anti-simétrica, devemos ter S = -S^T .
Usando a mesma matriz S e sua transposta S^T :
Igualando S = -S^T , temos:
S11 = -S11 => c = -c => c = 0
S12 = -S21 => a = 1
S13 = -S31 => 0 = 0 (já satisfaz)
S14 = -S41 => -b = -a
S22 = -S22 => 0 = -0 (já satisfaz)
S23 = -S32 => k = -l
S24 = -S42 => 5 = -5 => Contradição!
S33 = -S33 => 0 = -0 (já satisfaz)
S34 = -S43 => -l = -3 => l = 3
Passo 6
Vamos analisar as equações:
c = 0
a = 1
-b = -a => b = a => b = 1
k = -l
l = 3
Então, k = -3
No entanto, observamos que a equação S24 = -S42 resultou em 5 = -5 , o que é impossível. Isso significa que não existe uma matriz anti-simétrica que satisfaça todas as condições dadas.
Resposta
a) Para S ser simétrica:
a = -1
b = 1
l = -3
k = -3
c pode ser qualquer número real.
b) Não existem valores de a, b, c, l, k que tornem S anti-simétrica.