Usando o cálculo integral, calcular a área da região delimitada pelos gráficos das funções f(x)=raiz1-x^2 e g(x)=-raiz1-x^2 no intervalo [-1,1].
17. Calcular o volume do sólido com seção transversal quadrada cujo lado da base possui extremidades nos pontos (x, y) e (x,-y) que estão na curva x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes que usam cálculo integral:
  1. Calcular a área da região entre as curvas f(x)=raiz1-x^2 e g(x)=-raiz1-x^2 no intervalo [-1,1].
  2. Calcular o volume do sólido cujas seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados cujos lados vão de (x,y) a (x,-y) com (x,y) na circunferência x^2+y^2=1.
    Para isso usamos:
  • Para a área, a fórmula A=integrala^bl[f(x)-g(x)r],dx.
  • Para o volume, o método dos cortes: V=integrala^b A(x),dx, onde A(x) é a área da seção em x.

Passo 2

Para a área, note que
f(x)-g(x)=raiz1-x^2-l(-raiz1-x^2r)=2raiz1-x^2
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Área=integral-1^12raiz1-x^2,dx Á
É conhecido que
integral-1^1raiz1-x^2,dx=pi2,
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Área =2cdotpi2 =pi Á

Passo 3

Para o volume, a seção em cada x é um quadrado de lado
s(x)=ytopo-yfundo =raiz1-x^2-l(-raiz1-x^2r) =2raiz1-x^2
A área dessa seção é
A(x)=l[s(x)r]^2 =4l(1-x^2r)
Portanto
V=integral-1^14l(1-x^2r),dx =4integral-1^1l(1-x^2r),dx
Calculando,
integral-1^1(1-x^2),dx =l[x-x^33r]-1^1 =l(1-tfrac13r)-l(-1+tfrac13r) =tfrac43,
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V =4cdot43 =163

Resposta

Área da região: pi
Volume do sólido: 163

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