1. Calcular o comprimento do arco da curva x^2+y^2=r^2,(r>0), pelo uso de uma forma parametrizada x=x(t) e y=y(t).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da circunferência de raio r>0 definida por
x^2+y^2=r^2
usando uma parametrização x=x(t), y=y(t). O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas:
L=integralt1^t2raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2;dt

Passo 2

Escolhemos a parametrização padrão da circunferência de raio r:
x(t)=rcos t, y(t)=rsin t,
onde t varia de t1 a t2.

Passo 3

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt=-,rsin t, dydt=rcos t

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento de arco para obter o integrando:
raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2 =raiz(-rsin t)^2+(rcos t)^2 =raizr^2sin^2t+r^2cos^2t =raizr^2 =r

Passo 5

O comprimento de arco entre t=t1 e t=t2 é então
L=integralt1^t2r;dt =r,(t2-t1)

Passo 6

Em particular, para percorrer a circunferência completa fazemos t1=0 e t2=2pi, obtendo
Ltotal =r,(2pi-0) =2pi r

Resposta

O comprimento de arco entre t1 e t2 é
L=r,(t2-t1),
e para a volta inteira ( 0<= t<=2pi) vale
L=2pi r

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